ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ

В алгебре понятия «выражения», «тождества» и «уравнения» имеют разные значения. 

Выражение — это построенная по принятым в математике правилам комбинация чисел, букв, символов функций, символов операций, скобок и других математических обозначений. 

Некоторые виды выражений:

Числовые — содержат числа, знаки арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и скобки. Примеры: 5 + 9, 12 − 4, 6 × 7, 20 / 4. 

Алгебраические — состоят из чисел и переменных, связанных знаками арифметических операций, а также знаками последовательности применения этих операций (обычно скобками). Например: (−3)² + 5x, 3a + 4b, 2x − 63. 

Два выражения называются тождественно равными (равносильными, эквивалентными), если при любых допустимых значениях входящих в них переменных значения обоих выражений совпадают. 

Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях переменных, которые в него входят. 

Некоторые примеры тождеств: a + b = b + a — утверждает коммутативность сложения;  (a + b)² = a² + 2ab + b²;  25 × (5 + 10) = 25 × 5 + 25 × 10 — тождество, доказанное с помощью распределительного свойства умножения. 

Чтобы доказать тождество, необходимо выполнить тождественные преобразования одной или обеих частей равенства и получить слева и справа одинаковые выражения. Для тождественных преобразований можно использовать формулы сокращённого умножения, законы арифметики и т. д..  W

Уравнение — это математическое равенство, в котором одна или несколько величин неизвестны. Задача — найти значения этих неизвестных, которые делают равенство верным. 

Некоторые виды уравнений:

Линейные — переменные находятся в первой степени, общий вид: ax + b = 0, где a и b — действительные числа. Если a ≠ 0,

уравнение имеет единственный корень: x = −a/b. Если a = 0,

уравнение не имеет корней (если b ≠ 0) или имеет бесконечно много решений (если b = 0).

Квадратные — уравнения вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Их решение требует применения специальных формул, таких как дискриминант.  

Корень уравнения — это число, которое при подстановке на место неизвестной обращает уравнение в верное числовое равенство. Например, корнем уравнения 2 + x = 6 является x = 4, так как 2 + 4 = 6. 

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет. Если уравнение имеет несколько переменных, то решением будет набор значений, обращающих уравнение в верное равенство. 

Пример: уравнение x − 3 = 5 имеет один корень: x = 8. Уравнение 0x = 1 не имеет корней, так как 0 ⋅ x всегда равно нулю, и равенство 0 = 1 невозможно.