Родился в СССР 31 августа 1963 года в Москве. Окончив среднюю школу №656 имени А.С. Макаренко, поступил в Ленинградское пожарно-техническое училище МВД СССР. По окончании училища в 1983 году лейтенант внутренней службы Чернышёв был распределён на должность инструктора профилактики в 10-ю военизированную пожарную часть УПО-3 Главного управления пожарной охраны МВД СССР. В 1987 году переведён в Московский гарнизон пожарной охраны в 13-ю роту 2-го батальона 2-й военизированной бригады пожарной охраны Управления пожарной охраны ГУВД Московского городского исполнительного комитета. Прошёл путь от командира взвода до оперативного дежурного по батальону. В 1998 году окончил Юридический институт МВД Российской Федерации. В 2002 году Е.Н. Чернышёв возглавил Службу пожаротушения федеральной противопожарной службы Центра управления в кризисных ситуациях (ЦУКС) МЧС России по Москве. За время службы принял участие в тушении более 250 пожаров в Москве, в том числе: на Останкинской башне (2000 год), в общежитии РУДН (2003 год), в Манеже (2004 год), на Черкизовском рынке (2006 год), в Российском онкологическом научном центре имени Н.Н. Блохина на Каширском шоссе (2006 год), в здании общежития МГУ имени М.В. Ломоносова, в Институте государственного и корпоративного управления (2007 год), в Аграрно-инженерном университете (2008 год), в ночном клубе «Дягилев» (2008 год), в техническом здании МАИ (2009 год). За время службы награждён орденом «За личное мужество», медалями «За отвагу», «За отвагу на пожаре», Жукова, юбилейными и ведомственными медалями и специальными знаками, иными наградами.
20 марта 2010 года в бизнес-центре на 2-й Хуторской улице, дом 38 на севере Москвы произошел пожар. Огонь бушевал в пятиэтажном здании, распространившись с 1 этажа по вентиляции на 5 этаж и затем на нижние этажи. Пожару был присвоен повышенный ранг сложности. Группа полковника Чернышёва прошла в горящее здание и эвакуировала находившихся внутри людей. Евгений Николаевич снова зашёл в здание, проверить возможных оставшихся в нем пострадавших. Он доложил, что воздух в его дыхательном аппарате заканчивается и собирался выходить, но кровля в помещении обрушилась, смертельно травмировав полковника Чернышёва. Указом Президента Российской Федерации от 24 марта 2010 года полковнику внутренней службы Евгению Николаевичу Чернышёву за мужество и героизм, проявленные при тушении пожара и спасении жизни людей, было присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно).
Имя героя присвоено 13-й специализированной части по тушению крупных пожаров, пожарно-спасательному катеру ФПС при Главном управлении МЧС России по Москве, пожарному депо в хуторе Закутском Волгоградской области, гимназии №1592 в Северном административном округе Москвы, кадетским классам в московской школе №2120 и в школе №4 в городе Байконур. Его именем названа улица в Новомосковско-Троицком округе Москвы. Бюсты полковника внутренней службы Е.Н. Чернышёва установлены перед зданием Академии Государственной противопожарной службы МЧС России и у здания 13-й специализированной части на аллее его имени. В Москве установлены мемориальные доски на зданиях, связанных с его учебой, службой и памятью о нём, включая дом, в котором жил Е.Н. Чернышёв. На торце его дома выполнен мурал с лицом героя и надписью: «Горжусь тем, что я - пожарный.» Нескольким пожарно-техническим средствам (теплозащитный экран, пожарная спасательная универсальная лестница), в изобретении которых полковник Чернышёв принимал участие, присвоено его имя. В 2013 году ему посвящена почтовая марка из серии «Герои Российской Федерации».