7 февраля 1832 года в истории мировой науки произошло событие, изменившее представления ученых о пространстве. В этот день российский математик, ректор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский представил Петербургской Академии наук работу («мемуар») «О началах геометрии». В ней он оспаривал истинность пятого постулата античного ученого Евклида о параллельных прямых. Это был довольно смелый шаг, поскольку ранее академики уже отрицательно высказывались по поводу опубликованных Лобачевским статей на данную тему.
До Лобачевского геометрия основывалась на трудах древнегреческого математика Евклида, жившего в III веке до нашей эры. Евклид в своем трактате «Начала» сформулировал систему аксиом, из которых логически выводились все остальные геометрические утверждения. Одной из ключевых аксиом была пятая, или постулат о параллельных прямых: через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, не пересекающую данную. На протяжении веков математики пытались доказать этот постулат на основе остальных аксиом, но безуспешно.
Лобачевский пошел по иному пути. Он предположил, что пятый постулат вовсе не обязателен и что можно построить целостную и непротиворечивую геометрическую систему, если заменить его альтернативным утверждением: через точку вне данной прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную. Это решение привело к созданию новой геометрии, ныне называемой неевклидовой или гиперболической геометрией.
Он сформулировал следующую аксиому: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие ее».
Мемуар состоял из трех частей. В первой части Лобачевский объяснял самые основные понятия геометрии, которые одинаковы и для привычной нам геометрии Евклида, и для его новой, неевклидовой: что такое точка, линия, фигура. Во второй он возвращался к своим ранним идеям и вводил главное отличие своей геометрии: если в обычной геометрии сумма углов треугольника всегда 180°, то в новой — всегда меньше 180°. Кроме того, через одну точку вне прямой можно провести бесконечно много прямых, которые не пересекут данную — то есть параллельных. Лобачевский также вывел формулы, которые позволяют рассчитывать стороны и углы треугольников в этой новой геометрии.
В третьей части Лобачевский использовал специальные математические методы, чтобы вычислять длины, площади и объемы в своей новой геометрии. Он показывал, как с помощью этих методов можно решать задачи, которые раньше решали только в обычной (евклидовой) геометрии. Это доказывало, что его новая система работает не хуже привычной. Обычная геометрия Евклида при этом рассматривалась как частный случай его новой теории — то есть как особый вариант, который получается при определенных условиях.
Как и предполагалось, реакция академиков оказалась скептической: работу они не поддержали. Решающую роль сыграл отзыв математика Михаила Васильевича Остроградского, который в саркастической манере отметил, что не понял почти ничего, кроме двух интегралов (причем один из них он ошибочно назвал неверным). Идея отказа от пятого постулата Евклида казалась настолько абстрактной и противоречащей привычным представлениям о геометрии, что вызывала у многих недоумение и даже насмешки.
Негативно воспринял открытие Лобачевского и академик Николай Иванович Фусс, который дал резко отрицательный отзыв о геометрии Лобачевского. Он не принял идеи неевклидовой геометрии, назвав их «напрасным старанием», а также возмутился попыткой Лобачевского использовать метрическую систему мер, усмотрев в этом «французское влияние».
Однако ряд выдающихся зарубежных ученых высоко оценили теорию Лобачевского. Среди них были такие выдающиеся математики, как Карл Гаусс, который еще до публикаций Лобачевского самостоятельно пришел к идеям неевклидовой геометрии и внимательно следил за ее развитием; Янош Бойяи, независимо от Лобачевского разработавший аналогичную теорию; а также итальянский математик Эудженио Бельтрами, который впоследствии дал первое геометрическое представление пространства Лобачевского и доказал его внутреннюю непротиворечивость. Признание со стороны этих ученых сыграло важную роль в утверждении неевклидовой геометрии как значимой области математики.
Работы Лобачевского подорвали убеждение в абсолютности евклидовой геометрии как единственно возможной модели реального пространства. Это изменило философские взгляды на природу математических истин и привело к развитию формализма и аксиоматического подхода в математике. Его идеи нашли применение в физике, особенно после появления теории относительности Эйнштейна, где пространство-время оказалось неевклидовым. Геометрия Лобачевского легла в основу моделей пространства-времени с отрицательной кривизной.
Вклад Лобачевского стимулировал развитие топологии, дифференциальной геометрии, теории групп и других разделов математики. Его пример показал, что математика — это не только изучение «данностей природы», но и творчество по построению новых абстрактных миров. Сегодня геометрия Лобачевского входит в учебные программы университетов по всему миру, а сам он считается одним из величайших математиков XIX века.
Подписывайтесь на канал «История. Вопросы и ответы», чтобы не пропустить новые публикации!