Замечательный советский и российский актер театра и кино, режиссёр, телеведущий. Народный артист РСФСР. Родился в Москве в семье известного ученого, доктора химических наук Владимира Ильича Кваши и его супруги Доры Захаровны – врача дефектолога. Отец будущего актера погиб на Ленинградском фронте в декабре 1942 года. До седьмого класса Игорь рос как обычный мальчишка с Арбата первых послевоенных лет, а затем «заболел театром»
Практически ежедневно, едва дождавшись конца занятий он спешил в городской Дом пионеров, располагавшийся в переулке Стопани. Здесь в особняке, принадлежавшем некогда знаменитому чаеторговцу Высоцкому, Игорь Кваша самозабвенно занимался в театральной студии.
По его собственным воспоминаниям в школу он ходил только для того, чтобы получить аттестат, без которого нельзя было поступить в театральное училище. В 1955 году окончил Школу-студию МХАТ. С 1955 по 1957 год — актёр МХАТ СССР имени М. Горького.
Входил в ту самую группу молодых энтузиастов, создавших театр «Сов