Рассмотрим решение задачи, которая на канале Валерия Казакова решена двумя способами. Задача дана под заголовком Очень интересная задача! Все в восторге. Итак, задача.
1. В прямоугольном треугольнике ABC (угол C – прямой) проведена биссектриса AK. В треугольник AKC вписан квадрат с вершиной M на биссектрисе. Точка M делит биссектрису на отрезки AM = 2, MK = 1. Найдите площадь треугольника ABC.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Очень интересная задача! Все в восторге | Наглядная Геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/6812f070eaab1b4f8cfed185?share_to=link
Рассмотрим третий способ решения задачи, для чего введём другие обозначения и воспользоваться свойством касательных, проведённых к окружности из одной точки.
Решение. Диагональ квадрата CM является биссектрисой прямого угла прямоугольного треугольника, а значит, M –центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Проведём перпендикуляр MN к гипотенузе AB, точки D, E и N – точки касания окружности, вписанной в треугольник ABC. Введём обозначения: CD = CE = x, BN = BE = y по свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности.
Прямые DM и CK параллельны, по теореме о пропорциональных отрезках
AD = 2DC = 2x, а AN = AD = 2x по свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности.
Упрощение решения заключается в том, что мы не выражали длины отрезков в радикалах, а от какого способа решения задачи будут в восторге сдающие ЕГЭ – дело их вкуса и багажа знаний.