Хотите собрать полный комплект яблочной техники? Тогда изучайте статистику.
Сегодня полезный пост, в котором мы начнем собирать статистический словарик для начинающих ML-щиков и аналитиков.
0. Центральная предельная теорема.
Святой грааль теории вероятностей, из которого статистика как наука практически родилась. Что говорит ЦПТ? Если у нас есть много независимых случайных величин из одного распределения, то их среднее (как случайная величина) будет распределена нормально, причем математическое ожидание совпадет с мат.ожиданием одной случайной величины, а дисперсия будет дисперсией одной случайной величины, деленной на кол-во наблюдений. В частности, ошибки измерений и случайный шум часто распределены нормально, что позволяет использовать MSE-loss для моделей, приближающих данные, но про это в другом посте (поддержите активностью, если вам интересно!!!).
1. Статистические гипотезы.
Статистическая гипотеза представляет из себя утверждение о параметрах модели. В тестах обычно используется два вида гипотез - нулевая и альтернативная, обозначаются H0 и H1 соответственно. Нулевая гипотеза - та, которую мы примем, если не соберем достаточных доказательств ее неправильности. Соответственно, ее можно составить по формуле "при отсутствии данных принимаем такое же решение, как если бы было верно...".
Альтернативная гипотеза - гипотеза, требующая доказательств, то есть данных, свидетельствующих о ее правильности и о том, что нулевая гипотеза неверна. Пример: вы - банк, нормальный банк, не МФО, и на основе данных хотите принять решение, является ли заемщик надежным? Тут нулевой гипотезой будет то, что заемщик - ненадежный, ибо зачем без доказательств выдавать кредит кому попало? Это экономически невыгодно.
На картинке, например, мы проверяем гипотезу о математическом ожидании заранее известного распределения. Если мы его верно предположили, то есть наша нулевая гипотеза верна, мы знаем, как будет выглядеть распределение нашей статистики которую мы считаем. Альтернативной гипотезой в нашем случае будет что истинное мат.ожидание не равно нашему предполагаемому.
2. Статистические тесты, уровень значимости, мощность.
После того, как мы определились с гипотезами, нужно их проверить - для этого и нужны статистические тесты. Статистические тесты вычисляют функцию от наблюдений, называемую статистику, и проверяют, попало ли это значение в "критический регион" - множество значений, при которых мы отклоняем нулевую гипотезу. Критический регион основан на знании о том, как распределена тестовая статистика. Тесты бывают односторонние и двусторонние. При одностороннем тесте вы сравниваем тестовую статистику только с одним числом, в двустороннем тесте - с двумя числами. Подробнее с этим мы разберемся в практическом примере.
Однако, помимо формулирования гипотез, перед проведением теста необходимо определиться с уровнем значимости. Уровень значимости показывает, как часто наш тест неверно отклоняет нулевую гипотезу. Более формально - это вероятность отклонить H0 при условии ее правильности. В примере с банком - как часто мы выдаем кредит ненадежным заемщикам. От уровня значимости будет зависеть критический регион теста. Обычно используется значение 0.05 - то есть мы позволяем тесту ошибочно отвергать H0 не более чем в 5% случаев.
Почему же мы не можем поставить уровень значимости очень маленьким, скажем, 0.01%, чтобы почти никогда неверно не отклонять H0? Пострадает мощность. Мощность показывает, как часто мы правильно отклоняем H0, для случая с банком - как часто мы выдаем кредит надежным заемщикам. Если поставить уровень значимости очень низким, то почти все заемщики вернут нам кредит, но самих заемщиков станет сильно меньше! При уменьшении уровня значимости мощность обычно падает, и итоговая значимость будет зависеть от наших бизнес-целей.
Это БАЗА. Ее должны изучать в школе, чтобы вас было сложнее обмануть, ибо манипуляции со статистикой - самый простой способ уверенно лгать.