В математике есть задачи, к которым перестают возвращаться. Считается, что все уже доказано и решения просто не существует. Одной из таких проблем были дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами - до недавнего времени.
Ученый из НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде и ИППИ РАН Иван Ремизов предложил способ аналитического решения задач, которые считались нерешаемыми с XIX века. Результаты его работы опубликованы во Владикавказском математическом журнале и уже называют концептуальным прорывом.
В школе нас учат решать квадратные уравнения (ax2+bx+c=0) по формуле дискриминанта, подставив коэффициенты и получил ответ. Но в науке все устроено сложнее. Там используются уравнения вида:
ay'' + by' + cy = g - дифференциальные уравнения второго порядка.
Они описывают процессы, которые постоянно меняются: движение планет, колебания маятника, сигналы в электросетях. В таких уравнениях коэффициенты — это не числа, а функции, а вместо простого возведения в квадрат используется вторая производная.
Если упростить, то одно дело ехать по ровной дороге с постоянной скоростью, и совсем другое — по трассе, где постоянно меняется покрытие, дует ветер и дорога то идет в гору, то под уклон.
Еще в 1834 году французский математик Жозеф Лиувилль показал, что решения таких уравнений нельзя выразить через их коэффициенты, используя стандартные математические операции и элементарные функции. После этого в научном сообществе закрепилось мнение - общей формулы решения не существует. Более 190 лет задачу считали закрытой.
Старший научный сотрудник НИУ ВШЭ и ИППИ РАН Иван Ремизов не стал спорить с Лиувиллем, а просто расширил набор инструментов. К стандартным математическим действиям ученый добавил еще одно — нахождение предела последовательности. Это позволило записать формулу, в которую можно подставить коэффициенты a, b, c и g уравнения ay''+ by'+cy=g, и найти его решение — функцию y.
Метод основан на теории аппроксимаций Чернова. Сложный процесс разбивается на бесконечное число простых шагов. Каждый из них дает приближение, а при стремлении их числа к бесконечности они складываются в точное решение.
В новой статье доказано, что если применить к этим шагам преобразование Лапласа, они сходятся к итоговому результату — резольвенте.
Старший научный сотрудник Международной лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде Иван Ремизов, объясняет это так:
Представьте, что искомое решение уравнения — это большая картина. Рассмотреть ее сразу целиком очень трудно. Но математика умеет отлично описывать процессы, развивающиеся во времени. Результатом работы стала теорема, которая позволяет “нарезать” этот процесс на множество маленьких простых кадров, а затем с помощью преобразования Лапласа собрать из этих кадров единую статичную картину — решение сложного уравнения, то есть резольвенту. Проще говоря, вместо того, чтобы гадать, как выглядит картина, теорема позволяет восстановить облик, быстро прокручивая “киноленту” ее создания
Дифференциальные уравнения второго порядка используются не только для описания реальных процессов, но и для определения специальных функций — например, функций Матье и Хилла. Они важны для понимания движения спутников и частиц в Большом адронном коллайдере.
Раньше такие функции можно было задавать только через сами уравнения. Теперь их можно выражать явными формулами, напрямую через коэффициенты - по тому же принципу, как формула y(x)=x2 задает функцию y. Чтобы найти y(x) из этого примера, нужно число х умножить само на себя. Разумеется, для функций Матье и Хилла формулы имеют более сложную структуру, но принцип тот же: слева от знака равенства стоит величина, которую нужно найти, а справа указаны явные действия, выполнение которых приведет к ее нахождению
Есть и еще один важный результат. Впервые решение обыкновенного дифференциального уравнения представлено в виде формулы, аналогичной интегралам Ричарда Фейнмана, используемым в квантовой механике.
То, что раньше работало только для квантовых частиц, теперь применимо и к классическим задачам математики.
Статья написана на основании официального пресс-релиза