Здравствуйте, дорогие девятиклассники! Сегодня мы с вами разберем тему, которая многим кажется сложной и абстрактной, но на самом деле является очень полезным инструментом для решения геометрических задач — векторы. В задании №18 ОГЭ как раз проверяются ваши знания о векторах, и я уверен, что после этого урока вы будете решать такие задачи легко и уверенно.
Что такое вектор? Не просто стрелочка!
Вектор — это направленный отрезок, который характеризуется:
· Длиной (модулем) — длиной отрезка
· Направлением — куда указывает стрелка
Точка A — начало вектора, точка B — конец вектора. Обозначается как вектор AB.
Обозначения: Вектор обозначается либо как «вектор AB», либо одной маленькой буквой со стрелочкой над ней: вектор а.
Важные понятия:
· Нулевой вектор — вектор, у которого начало и конец совпадают (длина 0, направление не определено)
· Коллинеарные векторы — векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой)
· Равные векторы — векторы, имеющие одинаковую длину и направление
Основные операции с векторами
1. Сложение векторов
Есть два основных способа сложить два вектора:
Правило треугольника:
1. Откладываем первый вектор «вектор а»
2. От конца первого вектора откладываем второй вектор «вектор b»
3. Вектор суммы идет из начала первого в конец второго
Правило параллелограмма:
1. Откладываем оба вектора от одной точки
2. Достраиваем до параллелограмма
3. Диагональ из общей точки — вектор суммы
2. Вычитание векторов
Вычитание — это сложение с противоположным вектором.
Вектор а минус вектор b = вектор а плюс (минус вектор b)
Правило треугольника для вычитания:
1. Откладываем оба вектора от одной точки
2. Вектор разности идет из конца второго в конец первого
3. Умножение вектора на число
При умножении вектора на число k:
· Длина вектора умножается на модуль k (на абсолютное значение k)
· Если k больше 0, направление сохраняется
· Если k меньше 0, направление меняется на противоположное
Координаты вектора
Как найти координаты вектора?
Если известны координаты начала A(x₁; y₁) и конца B(x₂; y₂), то:
Координаты вектора AB = (x₂ - x₁; y₂ - y₁)
Пример: A(2; 3), B(5; 7), тогда вектор AB = (5 минус 2; 7 минус 3) = (3; 4)
Операции с векторами в координатах
Если вектор а = (x₁; y₁) и вектор b = (x₂; y₂), то:
1. Сложение: вектор а + вектор b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂)
2. Вычитание: вектор а - вектор b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂)
3. Умножение на число: k умножить на вектор а = (k умножить на x₁; k умножить на y₁)
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Это очень важная концепция! Любой вектор на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным (не параллельным) векторам.
Если вектор e₁ и вектор e₂ — два неколлинеарных вектора, то для любого вектора а существуют такие числа x и y, что:
Вектор а = x умножить на вектор e₁ + y умножить на вектор e₂
Числа x и y называются координатами вектора а в базисе (вектор e₁, вектор e₂).
Практический смысл: Если взять вектор e₁ = (1; 0) и вектор e₂ = (0; 1), то получаем обычные координаты вектора.
Как решать задачу №18 методом векторов?
Типичные формулировки задания №18:
1. "Найдите длину вектора (вектор а + вектор b)"
2. "Найдите координаты вектора (2 умножить на вектор а минус 3 умножить на вектор b)"
3. "Найдите скалярное произведение векторов" (в последние годы реже)
Алгоритм решения:
1. Определите координаты данных векторов
· Если даны точки, найдите координаты векторов по формуле: координаты конца минус координаты начала
· Если векторы даны в координатах, используйте их
2. Выполните требуемую операцию в координатах
3. Найдите искомую величину:
· Длину вектора: модуль вектора а = квадратный корень из (x² + y²)
· Координаты: просто запишите полученные числа
· Угол между векторами: косинус угла = (x₁x₂ + y₁y₂) разделить на (корень из (x₁² + y₁²) умножить на корень из (x₂² + y₂²))
Практика: Разбор задания №18
Задача 1 (базовая)
Даны векторы вектор а = (2; 5) и вектор b = (-3; 1). Найдите координаты вектора вектор с = 2 умножить на вектор а минус вектор b.
Решение:
1. Умножаем вектор а на 2: 2 умножить на вектор а = (2 умножить на 2; 2 умножить на 5) = (4; 10)
2. Вычитаем вектор b: вектор с = (4; 10) минус (-3; 1) = (4 минус (-3); 10 минус 1) = (7; 9)
3. Ответ: (7; 9)
Задача 2 (с нахождением длины)
Даны точки A(1; 2), B(4; 6), C(3; 0). Найдите длину вектора (вектор AB + вектор AC).
Решение:
1. Находим координаты векторов:
· Вектор AB = (4-1; 6-2) = (3; 4)
· Вектор AC = (3-1; 0-2) = (2; -2)
2. Складываем: вектор AB + вектор AC = (3+2; 4+(-2)) = (5; 2)
3. Находим длину: модуль (вектор AB + вектор AC) = квадратный корень из (5² + 2²) = квадратный корень из (25 + 4) = квадратный корень из 29
4. Ответ: квадратный корень из 29
Задача 3 (более сложная)
В параллелограмме ABCD известно: A(1; 3), B(5; 4), D(2; 1). Найдите координаты точки C.
Решение:
1. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, значит:
вектор AB = вектор DC
2. Находим вектор AB = (5-1; 4-3) = (4; 1)
3. Пусть C(x; y), тогда вектор DC = (x-2; y-1)
4. Приравниваем:
x - 2 = 4 ⇒ x = 6
y - 1 = 1 ⇒ y = 2
5. Ответ: C(6; 2)
Особенности задания №18 в ОГЭ
1. Обычно не требуются сложные вычисления — числа подобраны так, чтобы ответ был "красивым"
2. Часто проверяется понимание геометрического смысла операций с векторами
3. Могут быть задачи на векторы в треугольниках, параллелограммах
4. Иногда нужно знать о скалярном произведении и его связи с углом между векторами
Памятка "Что нужно помнить о векторах"
1. Координаты вектора = (координаты конца) минус (координаты начала)
2. Длина вектора вектор а = (x; y): модуль вектора а = квадратный корень из (x² + y²)
3. Сложение/вычитание в координатах — покоординатно
4. Умножение на число — умножаем каждую координату
5. Коллинеарность векторов вектор а = (x₁; y₁) и вектор b = (x₂; y₂):
Векторы коллинеарны, если x₁/x₂ = y₁/y₂ (при условии, что знаменатели не равны 0)
Типичные ошибки в задачах на векторы
1. Путаница с координатами вектора — вычитают начало из конца, а не наоборот
2. Неправильное выполнение операций — например, складывают векторы неправильно
3. Забывают про знаки при работе с отрицательными координатами
4. Путают точку и вектор — точка имеет координаты, вектор — тоже, но это разные объекты!
Тренировочные задачи для самостоятельной работы
1. Даны векторы вектор а = (3; -2) и вектор b = (-1; 4). Найдите координаты вектора (3 умножить на вектор а минус 2 умножить на вектор b).
2. Найдите длину вектора вектор с = (6; -8).
3. Даны точки K(2; 5), L(4; 1), M(6; 3). Докажите, что векторы вектор KL и вектор LM не коллинеарны.
4. В прямоугольнике ABCD известны вершины A(1; 1), B(5; 1), D(1; 4). Найдите координаты вершины C.
Ответы для самопроверки:
1. (11; -14) [3×(3; -2) = (9; -6); 2×(-1; 4) = (-2; 8); (9; -6) - (-2; 8) = (11; -14)]
2. 10 [квадратный корень из (6² + (-8)²) = квадратный корень из (36+64) = квадратный корень из 100 = 10]
3. Вектор KL = (2; -4), вектор LM = (2; 2), отношения координат: 2/2 = 1, (-4)/2 = -2, не равны ⇒ не коллинеарны
4. C(5; 4) [в прямоугольнике противоположные вершины: A и C, B и D, но проще через векторы: вектор AB = (4; 0), вектор AD = (0; 3), тогда вектор DC = вектор AB, от D(1; 4) прибавляем (4; 0) = (5; 4)]
Дорогие ребята, векторы — это не страшно! На самом деле, это очень удобный инструмент, который позволяет решать геометрические задачи алгебраическими методами. Если вы научитесь уверенно работать с координатами векторов, то задание №18 станет для вас одним из самых простых в ОГЭ.
Домашнее задание: Решите 5 задач на векторы из сборника ОГЭ. Особое внимание уделите задачам, где векторы заданы координатами точек.
Успехов в освоении геометрии! Помните: каждая решенная задача приближает вас к успешной сдаче экзамена.