Рассмотрим решение задачи, для которой на канале Валерия Казакова приведено решение при помощи теорем о средних линиях треугольника и трапеции. Задача дана под заголовком Удивительная задача! Найди устное решение! Короткое решение, его полезно посмотреть по ссылке. А мы обсудим второй способ решения задачи с использованием только признаков равенства прямоугольных треугольников и свойства противоположных сторон прямоугольника. Итак, задача.
1. Через вершину A квадрата ABCD провели прямую и из остальных вершин — три перпендикуляра к ней: DH, DF, CM (см. рис.). Оказалось, что DH = 4, DF = 3. Найдите длину перпендикуляра CM.
На канале показано обоснованное решение задачи. Вот итоговый кадр решения задачи.
Источник. Удивительная задача! Найди устное решение! | Наглядная геометрия| Дзен. https://dzen.ru/video/watch/68b14197566b2d24b078b83c
Приведём ещё один способ решения задачи.
Решение. Проведём перпендикуляр DK к отрезку СМ. Треугольники ABH и DCK равны по гипотенузе и острому углу (противоположные стороны квадрата равны, а углы ABH и DCK равны как углы с сонаправленными сторонами), следовательно, CK = BH = 4.
В прямоугольнике MKDF KM = DF = 3. Тогда CM = 3 + 4 = 7.
Ответ. 7.
Рассмотрим решение второй задачи, для которой на канале Валерия Казакова применено подобие треугольников. Задача дана под заголовком Красивый ход! Следите за руками! Решение задачи на канале несложное, но можно обойтись без подобия треугольников. Решим её «бесподобно». Итак, задача.
2. К гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC провели серединный перпендикуляр KM, пересекающий катет AC в точке K. Оказалось, что AK = 13, KC = 5. Найдите площадь треугольника AKM.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Красивый ход! Следите за руками! | Наглядная геометрия| Дзен. https://dzen.ru/video/watch/68d4d6b8bb6eb32c35d47125
Рассмотрим второй способ решения задачи.
Решение. Воспользуемся предыдущим рисунком. Треугольник AKM и BKM равны по двум катетам, следовательно, BK = 13 и их площади равны. По теореме Пифагора найдём BС = 12. Площадь треугольника BKC равна половине произведения его катетов и равна 30.
Площадь треугольника ABC равна (13 + 5) ∙ 12 : 2 = 108, а площадь треугольника AKM составляет половину от разности 108 – 30 = 78, она равна 39.
Ответ. 39.