Выдающаяся советская и российская актриса театра и кино, Народная артистка России. Старшая сестра Народного артиста СССР Леонида Васильевича Маркова (1927–1991). Родилась 3 марта 1925 года в посёлке Чурино Самарской губернии в театральной семье. Её отец был профессиональным актером, а мама работала в театре гримёром-парикмахером. Семья постоянно переезжала с места на место и детство девочки, так же, как и её младшего брата прошло за кулисами провинциальных театров, в которых служили родители. Римме и Леониду Марковым пришлось не только сменить несколько школ, но и постоянно участвовать в спектаклях.
Сразу после войны окончив школу брат и сестра поступили в студию при Вологодском драматическом театре, где художественным руководителем была Лия Давыдовна Ротбаум. Она чувствовала, что потенциал у юных актеров достаточно большой и повезла их «показывать» в Москву. В 1947 году двадцатидвухлетнюю Римму и её двадцатилетнего брата приняли в театральную студию, а потом и в труппу Театра имени Л