Старый Новый год так называется не из-за возраста праздника и не потому, что он «вышел из моды».
Всё дело в календарях.
Раньше в России и многих других странах жили по юлианскому календарю - его ещё называют старым стилем. Но в XX веке страна перешла на григорианский календарь - новый стиль, которым мы пользуемся сейчас.
Разница между ними - 13 дней.