14 января отмечается Всемирный день логики. Праздник учреждён ЮНЕСКО в 2019 году.
Дата праздника связана с биографиями двоих великих учёных, без которых невозможно представить современную логику как науку. На этот день приходятся годовщина рождения Альфреда Тарского и смерти Курта Гёделя.
Логика и логика, скажет кто-то… Неужели там не всё ещё открыто? А тем не менее это динамично развивающаяся наука! И даже две научных ветви… но об этом ниже.
Между философией и математикой
Законы, по которым строятся правильные рассуждения, интересовали ещё древних.
Мало перечислить эти законы, доказать, что их достаточно. Возникали странные казусы, вроде «парадокса лжеца».
«Лжец сказал, что он лжёт» – он правду сказал или солгал? Если правду, он больше не лжец, но как же он тогда «лжёт»? Если он солгал, то получается, что он не лжёт, а вовсе наоборот…
Аристотель посвятил логике одно из своих великих сочинений, «Органон». О логике рассуждали и Платон, и стоики, мыслители христианского и арабского Средневековья. «Наука логики» – назывался и знаменитый труд Гегеля, рассуждавший о бытии и давший основу многим направлениям мысли XIX и ХХ веков, в том числе так повлиявшему на нашу страну марксизму…
Ко временам Гегеля логика начала восприниматься как часть риторики и философии. Однако параллельно необходимость в логической строгости назрела и в математике. Например, сам Исаак Ньютон умел скорее всего вычислять изобретённые им производные лишь приблизительно, графически, а строгие формулы вывел с помощью логических кванторов столетия спустя Огюстен Коши.
От расцвета математической логики до начала компьютерной эпохи оставались десятилетия, однако по меркам истории можно сказать что это произошло «накануне».
Тогда было заложено разделение двух «логик», которое существует и сейчас. Если студент говорит, что ему нужно сдавать логику, уточните какую.
Есть дисциплина «логика» у гуманитариев, обычно преподаёт её кафедра философии. Там учат правильно рассуждать, строить силлогизмы. В глубину эта наука уходит, сливаясь с философией.
Есть предмет «математическая логика», который преподают математикам и айтишникам. Начинается всё с компьютерной математики – тех законов, по которым «мыслит» и действует чип, работающий с нулями (ложь) и единицами (истина). Кстати, в квантовых компьютерах будущего операции будут выглядеть иначе, чем знакомые всем «и»/«или» (конъюнкция/дизъюнкция), в основе вычислений будет лежать своя «квантовая логика», которая на выходе будет переводиться на привычный нам язык – но это отдельная тема.
Логика – фундамент математики
Математическая логика «вглубь» – ведёт к основаниям математики – теориям, оправдывающим само существование математики и логики, как это делают две теоремы Гёделя – о полноте и неполноте.
Теорема Гёделя о полноте. Есть набор кванторов, символов, операций (и, или, не, если – то) и аксиом составляющий «логику первого порядка». Из них составляется формула. Согласно теореме Гёделя, если некая формула истинна – она выводима из аксиом с помощью операций.
Иными словами, логика полна – аксиомами и операциями можно пользоваться и ничего другого добавлять к ним не требуется.
Теорема Гёделя о неполноте. Существует арифметика: натуральные числа, набор операций, аксиом. Увы, в арифметике всегда найдётся истинное утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках её же правил.
И в качестве вишенки на торте саму непротиворечивость арифметики невозможно доказать её средствами.
Иными словами, логика – полна, а математика – не полна.
Так что же теперь, перестать пользоваться математикой, в основе которой арифметика? Нет. Как никому из нас не мешает жить и логический парадокс лжеца.
Именно на парадоксе лжеца и манипулировании с нумерацией математических формул (как в известном анекдоте о том, что пронумеровали все анекдоты) и основано доказательство великой теоремы Гёделя. Студенты-математики, которые добрались до него в учебнике, радостно выдыхают – это самый сложный вопрос курса.
Философия снова встречается с математикой
Ещё глубже в математическую логику? Это опять же основания математики, например, построение системы действительных чисел – с этим направлением связаны исследования Альфреда Тарского, упомянутого в начале статьи.
Это теория моделей и теория категорий – выросшие из логики жемчужины современной алгебры.
Наконец, это экзотические логики, например «интуиционистская логика» – логика без «закона исключенного третьего», многозначные логики, где кроме истины и лжи существуют другие значения (не путать с популярной в айти-отрасли «нечёткой логикой» – впрочем, слово «логика» присутствует и здесь).
На самой глубине математическая логика снова смыкается с логикой философской.
Говоря об этом, нельзя не вспомнить замечательного учёного, философа-математика приехавшего в числе других молодых преподавателей из столицы, создавать Челябинский Политех, а в итоге связавшего с Южным Уралом жизнь.
Ким Суханов и логика в Челябинске
Речь о Киме Николаевиче Суханове (1932-2018). В 1958 году, после окончания аспирантуры философского факультета МГУ, ещё до защиты диссертации, он прибыл в ЧПИ и стал ассистентом кафедры марксизма-ленинизма, в 1960 году стал старшим преподавателем, в 1964 году – доцентом.
С 1971 года по 1980 Ким Николаевич заведовал кафедрой философии Челябинского политехнического института.
Его кандидатская диссертация называлась «Критика философии интуиционизма в свете развития конструктивной математики». Для тех, кто не изучал марксистскую философию в советские времена, поясним в чём интрига.
Каждый советский школьник и студент обязаны были знать три закона диалектики, сформулированные Энгельсом: закон перехода количества в качество, закон единства противоположностей и закон отрицания отрицания.
К последнему у логиков возникали вопросы. Удобный в быту, толкуемый как «революционность» бытия, закон отрицания отрицания нравился Ленину, который, защищая его, набрасывался с критикой на логиков-формалистов.
Увы, если отдельные фразы вождя воспринимать как священные догмы, можно нанести урон реальной науке – в том числе математической логике и кибернетике. Ведь чтобы дать учёным действовать, придётся разрешить «ересь» с точки зрения марксизма.
К середине ХХ века, к периоду хрущёвской оттепели отрицать те научные отрасли, что отрицались ранее, стало уже просто совестно. Но советским философам не хотелось сдаваться и поднимать руки вверх, они стремились дойти до сути. В их числе была и научная школа по гносеологии на философском факультете МГУ, прежде громившая кибернетиков, а затем искавшая оправданий.
Философия в СССР была устроена так: если хочешь писать о западных исследованиях, «еретических» с точки зрения марксизма, нужно было указать, что это критика, разоблачение. А там уже можешь погружаться глубоко, перебирая жемчужины. В названии диссертации Кима Суханова «ереси» было сразу две – интуиционизм и конструктивизм, критика одного с позиций другого. По тем временам – виртуозно!
В Челябинске Кима Николаевича охватила рутина. Хороший философ нужен везде – вести нагрузку у студентов и аспирантов, принимать кандидатские экзамены. Ким Николаевич защитил докторскую (по другой теме), выпустил несколько пособий и популярных книг, в том числе словарь с биографиями философов, сам подготовил 7 диссертантов. Но до конца он продолжал дружить с математиками, в том числе со старейшим челябинским алгебраистом Сергеем Георгиевичем Ивановым (1931-2001), преподававшим матлогику и теорию алгоритмов. Плодом их дискуссий стало то, что автор данной заметки, когда-то на 3 курсе, занимаясь на семинаре Иванова, взял в библиотеке первую книгу по интуиционистской логике, а годы спустя сдал Суханову кандидатский реферат о философии математики, и после, работая на параллельных этажах, заходил к Киму Николаевичу на чай – поговорить о высоком и таинственном. Конечно, это личная история, но и у других преподавателей ЮУрГУ, кто слушал лекции Суханова, наверняка найдутся о нём тёплые воспоминания.
Остап Давыдов