Наука о данных (Data Science) и теория вероятностей неразрывно связаны: вероятность предоставляет математический фундамент для анализа неопределенности, которая лежит в основе любых данных.
Роль теории вероятностей в Data Science
1. Статистический вывод: Позволяет делать заключения о всей совокупности данных на основе ограниченной выборки.
2. Машинное обучение: Большинство алгоритмов (например, наивный байесовский классификатор или логистическая регрессия) основаны на вероятностных моделях.
3. Оценка рисков и неопределенности: Помогает понять, насколько надежен прогноз модели и какова вероятность ошибки.
4. A/B-тестирование: Используется для определения того, являются ли изменения в продукте статистически значимыми или это результат случайности.
Основные концепции для изучения
1. Случайные величины: Дискретные и непрерывные величины, их распределения.
2. Распределения: Нормальное (Гауссово), Бернулли, Пуассона, Биномиальное — понимание их формы важно для выбора модели.
3. Теорема Байеса: Фундаментальный принцип обновления вероятности события при получении новых данных.
4. Метрики центральной тенденции: Математическое ожидание (среднее), медиана, мода.
5. Меры рассеяния: Дисперсия и стандартное отклонение.
Теория Вероятности и интеграл Лебега
Теория вероятностей сегодня, во многом, базируется на аксиоматике Колмогорова (1933), которая связала её с теорией меры и интегралом Лебега, предоставив строгий математический фундамент, где пространство элементарных исходов, события и вероятности рассматриваются через множества и меры, что позволяет работать с непрерывными и сложными случайными явлениями. Интеграл Лебега стал ключевым инструментом для определения математического ожидания и других интегральных характеристик случайных величин, что позволяет «Теория Вероятности сегодня» оперировать мощными методами, далеко выходящими за рамки классической школьной математики.
Андрей Николаевич Колмогоров и его вклад
Основополагающая аксиоматика: Колмогоров предложил систему аксиом, включающую «Пространство элементарных событий», «Алгебру событий» и «Вероятностную меру», которая стала универсальной для всей теории вероятностей, включая «Теорию Колмогорова», объясняющую независимость и условную вероятность. Связь с анализом: Он показал, как теория вероятностей органично встраивается в теорию меры и функциональный анализ, используя понятия из теории функций (измеримые функции, обобщенные функции).
Теоремы: Разработал ключевые теоремы, например, «Теорему Колмогорова о двух рядах», которая дает необходимое и достаточное условие сходимости рядов независимых случайных величин.
Как это работает:
Простые функции: Интеграл Лебега начинается с интегрирования простых (ступенчатых) функций, а затем распространяется на более сложные (измеримые) функции через приближение их последовательностями простых функций.
Множества и меры: Вместо разбиения отрезка (как Риман), мера Лебега рассматривает "размеры" (меры) множеств, что позволяет корректно работать с вероятностями событий разной сложности.
Почему интеграл Лебега лучше интеграла Римана?
Использование аппарата Лебега в теории вероятностей дает несколько критических преимуществ:
1. Универсальность: Интеграл Лебега позволяет работать как с дискретными, так и с непрерывными (и смешанными) распределениями в рамках одной формулы.
2. Предельные переходы: Теоремы Лебега о монотонной сходимости и о мажорируемой сходимости позволяют обоснованно менять местами знаки предела и математического ожидания.
3. Сходимость почти всюду: Понятие «почти всюду» (a.e.) в интеграле Лебега соответствует понятию «с вероятностью 1» в теории вероятностей, что необходимо для формулировки Закона больших чисел
Современная теория вероятностей — это мощная ветвь математики, использующая аппарат функционального анализа, теории меры и топологии, и аксиоматика Колмогорова остается ее фундаментом, связывая её с реальными задачами и статистикой.
Из изложенного выше следует что Data Science, Теория Вероятности и ТФДП ( в частности, постренная Анри Лебегом теория меры и интеграла Лебега ) неразрывно связаны. Это может кому-то нравиться или не нравиться но сути вещей в понятии Науки о Данных это не изменит.
Смотри также https://dxdy.ru/post1248205.html
Я понимаю, что для ИИ на Дзен "Квантовая механика" вещь не слишком актуальная, но oт Data Science Дзен ИИ отгородиться никак не сможет.