Рассмотрим решение задачи, для которой на канале Валерия Казакова приведены два способа решения. Это полезно посмотреть по ссылке. А мы обсудим третий способ решения задачи с дополнительными построениями и с минимальными вычислениями.
1. В квадрате ABCD точка E – середина стороны AD, точка F – середина стороны AB. Диагонали квадрата пересекают отрезки CE и DF в точках M, N, P, K, как показано на рисунке. Площадь четырёхугольника MNPK равна 1. Найдите площадь квадрата ABCD.
На канале показано обоснованное решение задачи двумя способами. Вот итоговый кадр по первому способу решения задачи.
Источник. Китайский ужас! Переводной экзамен из 8 кл. | Наглядная геометрия | Дзен
Приведём ещё один способ решения задачи.
Решение. Треугольники ADF и DCE равны по двум катетам (AD = CD и AF = DE), следовательно, углы ADF и DCE равны. В треугольнике CDE сумма углов C и E равна 90°, следовательно, в треугольнике DKE сумма углов D и E равна 90°, а угол K прямой.
Через точки A, B, C проведём прямые, параллельные FD, сторона CD разделится пополам. Через точки A, B, D проведём прямые, параллельные CE, сторона BC разделится пополам.
В результате наших построений образовалось 8 прямоугольных треугольников, равных треугольнику DKE, и пять квадратов, один из которых составлен из четырёх четырёхугольников, равных четырёхугольнику MNPK, площадь которого равна 1. Площадь центрального квадрата равна 4, а cумма площадей пяти квадратов равна 5 ∙ 4 = 20.
Из равенства площадей восьми прямоугольных треугольников, один из которых DKE, следует, что площадь квадрата ABCD равна сумме площадей пяти квадратов, то есть равна 20.
Ответ. 20.