Группа исследователей из Московского государственного университета, совместно с зарубежными коллегами, представила значимые результаты в области Нийенхейсовой геометрии – новой математической дисциплины, тесно связанной с интегрируемыми системами, алгебраическими структурами, дифференциальной геометрией и математической физикой.
Результаты их работы, поддержанные грантом Российского научного фонда, были опубликованы на платформе arXiv.org и готовятся к публикации в ведущих международных математических изданиях.
Современная физика неразрывно связана с геометрическими подходами. Например, эйнштейновская теория относительности описывает пространство-время с использованием псевдоримановой геометрии, в которой информация о структуре объектов кодируется матрицей. Элементы этой матрицы меняются в зависимости от координат, и для симметричной матрицы 4x4 Эйнштейна эти элементы описывают взаимодействие пространства и времени, что позволяет численно моделировать гравитацию в окрестности черных дыр.
Другим примером является Пуассонова геометрия, применяемая в классической и квантовой механике. Здесь матрица обладает кососимметричным характером, и ее компоненты подчиняются дифференциальным тождествам Якоби. Эта геометрия используется в теории деформационного квантования и позволяет устанавливать связь между классической и квантовой физикой. Среди разработчиков инструментов в этой области стоит отметить французского математика российского происхождения Максима Концевича, лауреата Филдсовской премии.
Отличительной чертой Нийенхейсовой геометрии является то, что ее матричное представление описывает операторы, в отличие от билинейных форм или 2-векторов, используемых в других подходах. "Матрицы используются для записи тензоров, которые преобразуются определенным образом при изменении системы координат. В псевдоримановой геометрии изучаются билинейные формы, в пуассоновой – 2-векторы, а в Нийенхейсовой – операторы", – пояснил кандидат физико-математических наук Андрей Коняев из МГУ.
Для визуализации структуры исследователи используют аналогию с тканью: подобно тому, как нити скатерти переплетаются между собой, линии операторов пронизывают каждую точку пространства. Теорема о расщеплении описывает локальную структуру этого "тканого" пространства, в то время как теорема о линеаризации описывает простейшие узлы и особенности этих переплетений.
Несмотря на то, что матрицы Нийенхейса были известны с 1950-х годов, долгое время они рассматривались только в качестве вспомогательного инструмента. Современные исследования позволили сформулировать основополагающие теоремы для операторов Нийенхейса, обнаружить их глубокие взаимосвязи с другими областями математики и физики, а также заложить основу для дальнейшего развития этой геометрии.
Подпишитесь на Telegram "МК": еще больше эксклюзивов и видео!
Автор: Михаил Алимов