Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей точного естес-
Твознания, Галилео Галилей (1564 — 1642гг.) говорил, что "Книга природы написана на языке математики". Почти через двести лет родоначальник немецкой классической фи-
Лософии Иммануил Кант (1742 — 1804гг.) утверждал, что "Во всякой науке столько ис-
Тины, сколько в ней математики". Наконец, ещё через почти сто пятьдесят лет, практи-
Чески уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862 — 1943гг.) констатировал: "Математика — основа всего точного естествознания".
Приведенные высказывания великих ученых, без дополнительных комментариев, дают полное представление о роли и значении математики как в научно-теоретической, так и предметно-практической деятельности специалистов.
1.1. Три этапа математизации знаний
Современная методология науки выделяет три этапа математизации знаний: ма-
Тематическая обработка эмпирических (экспериментальных) данных, моделирование и относительно полные математические теории.
Первый этап — Это математическая, чаще всего именно количественная обработка эмпирических (экспериментальных) данных. Это этап выявления и выделения чисто фе-
Номенологических функциональных взаимосвязей (корреляций) между входными сигна-
Лами (входами ) и выходными реакциями (откликами ) на уровне целостного объекта (явления, процесса), которые наблюдают в экспериментах с объектами-оригиналами . Данный этап математизации имеет место во всякой науке и может быть определён как этап первичной обработки её эмпирического материала.
Второй этап Математизации знаний определим как модельный. На этом этапе не-которые объекты выделяются (рассматриваются) в качестве основных, базовых (фун-даментальных), а свойства (атрибуты), характеристики и параметры других объектов исследования объясняются и выводятся исходя из значений, определяемых первыми (назовем их оригиналами). Второй этап математизации характеризуется ломкой старых теоретических концепций, многочисленными попытками ввести новые, более глубокие и фундаментальные. Таким образом, на "модельном" этапе математизации, т. е. этапе математического моделирования, осуществляется попытка теоретического воспроизве-дения, "теоретической реконструкции" некоторого интересующего исследователя объек-та-оригинала в форме другого объекта — математической модели.
Третий этап — Это этап относительно полной математической теории данного уровня организации материи в данной или рассматриваемой предметной области. Тре-
Тий этап предполагает существование логически полной системы понятий и аксиомати-
Ки. Математическая теория даёт методологию и язык, пригодные для описания явлений, процессов и систем различного назначения и природы. Она даёт возможность преодоле-
Вать узость мышления, порождаемую специализацией.
1.2. Математическое моделирование и модель
Математическое моделирование — это теоретико-экспериментальный метод позна-
Вательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов — матема-
Тических моделей.
Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений (уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т. п.), определяющих характе-
Ристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения — реакции
, в зависимости от параметров объекта-оригинала х воздей-
Ствий, начальных и граничных условий, а также времени.
Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства (атрибуты) объекта-оригинала, которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала с различных точек зрения и в различных аспектах, последний может иметь различные математичес-
Кие описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделя-
Ми.
Принимая во внимание изложенное выше, дадим наиболее общее, но в то же время строгое конструктивное определение математической модели, сформулированное П. Дж. Коэном.
Определение 2. Математическая модель — это формальная система, представляю-
Щая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами.
Как следует из приведенного определения, конечное собрание символов (алфавит) и совершенно строгих правил оперирования этими символами ("грамматика" и "синтак-
Сис" математических выражений) приводят к формированию абстрактных математичес-
Ких объектов (АМО). Только интерпретация делает этот абстрактный объект математи-
Ческой моделью.
Таким образом, исходя из принципиально важного значения интерпретации в тех-нологии математического моделирования, рассмотрим ее более подробно.
1.3. Интерпретации в математическом моделировании
Интерпретация (от латинского "interpretatio" — разъяснение, толкование, истолко-
Вание) определяется как совокупность значений (смыслов), придаваемых каким-либо об-
Разом элементам некоторой системы (теории), например, формулам и отдельным симво-
Лам. В математическом аспекте интерпретация — это экстраполяция исходных положе-
Ний какой-либо формальной системы на какую-либо содержательную систему, исход-
Ные положения которой определяются независимо от формальной системы. Следова-
Тельно, можно утверждать, что интерпретация — это установление соответствия между некоторой формальной и содержательной системами. В тех случаях, когда формальная система оказывается применимой (интерпретируемой) к содержательной системе, т. е. ус-
Тановлено что между элементами формальной системы и элементами содержательной системы существует взаимно однозначное соответствие, все исходные положения фор-
Мальной системы получают подтверждение в содержательной системе. Интерпретация считается полной, если каждому элементу формальной системы соответствует некото-
Рый элемент (интерпретант) содержательной системы. Если указанное условие наруша-
Ется, имеет место частичная интерпретация.
При математическом моделировании в результате интерпретации задаются значе-
Ния элементов математических выражений (символов, операций, формул) и целостных конструкций.
Основываясь на приведенных общих положениях, определим содержание интер-
Претации применительно к задаче математического моделирования.
Определение 3. Интерпретация в математическом моделировании — это информа-
Ционный процесс преобразования абстрактного математического объекта (АМО) в кон-
Кретную математическую модель (ММ) конкретного объекта на основе отображения
Непустого информационного множества данных и знаний, определяемого АМО и называе-
Мого областью интерпретации, в кообласть — информационное множество данных и зна-
Ний, определяемое предметной областью и объектом моделирования и называемое об-
Ластью значений интерпретации.
Таким образом, интерпретацию следует рассматривать как один из основопола-
Гающих механизмов (инструментов) технологии математического (научного) модели-
Рования.
Именно интерпретация, придавая смысл и значения элементам (компонентам) ма-
Тематического выражения, делает последнее математической моделью реального объек-
Та.
1.4. Виды и уровни интерпретаций
Создание математической модели системного элемента — многоэтапный процесс. Основным фактором, определяющим этапы перехода от АМО к ММ, является интер-
Претация. Количество этапов и их содержание зависит от начального (исходного) ин-
Формационного содержания интерпретируемого математического объекта — математи-
Ческого описания и требуемого конечного информационного содержания математичес-
Кого объекта — модели. Полный спектр этапов интерпретации, отражающий переход от АМО — описания к конкретной ММ, включает четыре вида интерпретаций: синтаксичес-
Кую (структурную), семантическую(смысловую), качественную(численную) и количес-
Твенную. В общем случае, каждый из перечисленных видов интерпретации может иметь многоуровневую реализацию. Рассмотрим более подробно перечисленные виды интер-
Претаций.
Cинтаксическая интерпретация
Синтаксическую интерпретацию будем рассматривать как отображение морфоло-
Гической (структурной) организации исходного АМО в морфологическую организацию структуру заданного (или требуемого) АМО. Синтаксическая интерпретация может осуществляться как в рамках одного математического языка, так и различных матема-
Тических языков.
При синтаксической интерпретации АМО возможны несколько вариантов задач реализации.
Задача 1. Пусть исходный АМО не структурирован, например, задан кортежем элементов. Требуется посредством синтаксической интерпретации сформировать мор-
Фологическую структуру математического выражения
(1)
Задача 2. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую структуру,
Которая по тем или иным причинам не удовлетворяет требованиям исследователя (эксперта). Требуется посредством синтаксической интерпретации преобразовать в со-
Ответствии с целями и задачами моделирования исходную структуру St адекватную требуемую St, т.е.
(2)
Задача 3. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую структуру St, удовлетворяющую общим принципам и требованиям исследователя с точки зрения её синтаксической организации. Требуется посредством синтаксической интерпретации конкретизировать АМО со структурой Stаний, определяемых целями и задачами моделирования
(3)
Таким образом, синтаксическая интерпретация математических объектов даёт воз-
Можность формировать морфологические структуры АМО, осуществлять отображение (транслировать) морфологические структуры АМО с одного математического языка на другой, конкретизировать или абстрагировать морфологические структурные представ-
Ления АМО в рамках одного математического языка.
Семантическая интерпретация
Семантическая интерпретация предполагает задание смысла математических вы-
Ражений, формул, конструкций, а также отдельных символов и знаков в терминах сфе-
Ры, предметной области и объекта моделирования. Семантическая интерпретация даёт возможность сформировать по смысловым признакам однородные группы, виды, клас-
Сы и типы объектов моделирования. В зависимости от уровней обобщения и абстраги-
Рования или, наоборот, дифференциации или конкретизации, семантическая интерпре-
Тация представляется как многоуровневый, многоэтапный процесс.
Таким образом, семантическая интерпретация, задавая смысл абстрактному ма —
Тематическому объекту, "переводит" последний в категорию математической модели с объекта-оригинала, в терминах которого и осуществляется такая интерпретация.
Качественная интерпретация
Интерпретация на качественном уровне предполагает существование качествен-
Ных параметров и характеристик объекта-оригинала, в терминах (значениях) которых и производится интерпретация. При качественной интерпретации могут использоваться графические и числовые представления, посредством которых, например, интерпретиру-
Ется режим функционирования объекта моделирования.
Количественная интерпретация
Количественная интерпретация осуществляется за счет включения в рассмотрение количественных целочисленных и рациональных величин, определяющих значение па-
Раметров, характеристик, показателей.
В результате количественной интерпретации появляется возможность из класса, группы или совокупности аналогичных математических объектов выделить один един-
Ственный, являющийся конкретной математической моделью конкретного объекта-ори-
Гинала.
Таким образом, в результате четырех видов интерпретаций — синтаксической, се-
Мантической, качественной и количественной происходит поэтапная трансформация
АМО, например, концептуальной метамодели (КММ) функциональной системы, в конкретную математическую модель (ММ) конкретного объекта моделирования.