324 подписчика

Антигравитация – следствие принципа экстремальности времени в ОТО

3 дня назад3 дня назад

56 мин

Пономарев Дмитрий Валерьевич Полное наименование статьи: Антигравитация как следствие принципа экстремальности собственного времени для протяженного объекта с градиентом скоростей в общей теории относительности Описание антигравитации как частного случая гравитационного взаимодействия и механизм ее возникновения (получения) изложены в работах релятивистской модели антигравитационного взаимодействия тел [1]. До публикации настоящей статьи основными работами в рамках указанной модели, описывающими антигравитацию и условия ее возникновения, являлись «Основное уравнение антигравитации» [2], «Точка антигравитации» [3] и «Антигравитационная сила» [4]. Следует отметить, что в перечисленных выше работах модель антигравитационного взаимодействия тел строится в рамках формализма специальной теории относительности (СТО), что оправдано для малых областей искривлённого пространства‑времени с слабым и однородным гравитационным полем. Полученные в них уравнения соответствуют ньютоновскому пределу с р

Оглавление

Введение
Часть 1. Фундаментальные основы антигравитационного взаимодействия тел
1.1. Физическая постановка задачи

Пономарев Дмитрий Валерьевич

Полное наименование статьи: Антигравитация как следствие принципа экстремальности собственного времени для протяженного объекта с градиентом скоростей в общей теории относительности

Введение

Описание антигравитации как частного случая гравитационного взаимодействия и механизм ее возникновения (получения) изложены в работах релятивистской модели антигравитационного взаимодействия тел [1]. До публикации настоящей статьи основными работами в рамках указанной модели, описывающими антигравитацию и условия ее возникновения, являлись «Основное уравнение антигравитации» [2], «Точка антигравитации» [3] и «Антигравитационная сила» [4]. Следует отметить, что в перечисленных выше работах модель антигравитационного взаимодействия тел строится в рамках формализма специальной теории относительности (СТО), что оправдано для малых областей искривлённого пространства‑времени с слабым и однородным гравитационным полем. Полученные в них уравнения соответствуют ньютоновскому пределу с релятивистскими поправками. Вместе с тем общепризнанной фундаментальной теорией гравитации является общая теория относительности (ОТО), из уравнений которой в ньютоновском пределе выводятся классические законы ньютоновской механики.

Примечание: Так как площадка "Дзен" не позволяет в полной мере корректно размещать и отображать математические формулы и обозначения физических величин, то рекомендуем обратиться к первоисточнику настоящей статьи: https://antigravity-theory.ru/антигравитация-ото/

В данной редакции статьи (здесь на площадке "Дзен") все нижепредставленные расшифровки обозначений физических величин отображаются без выделения верхних и нижних индексов. Будьте внимательны в сопоставлении уравнений (они размещены картинками) и расшифровок к ним (они размещены в текстовом формате площадки "Дзен").

Цель исследования – вывод общего уравнения гравитационной силы, действующей на протяжённый пробный объект (элемент вещественной материи) с градиентом скоростей со стороны другого материального объекта и определение условий для изменения вектора ее направления (антигравитация) согласно ОТО и ее математического аппарата, а также сопоставление полученных результатов с описанием антигравитации в формализме СТО.

Задачи исследования:

1) Определить фундаментальные теоретические основы возникновения антигравитации (описание предмета, объекта исследования и ключевого физического принципа ОТО, объясняющего возникновение антигравитации);

2) Изложить логическую последовательность вывода уравнений, описывающих предмет и объект исследования (краткая цепочка вывода уравнений и представление эмпирического доказательства возможности антигравитации через реальный пример с технологией GPS).

Примечание: решение данной задачи, которое изложено в «Части 2. Построение логической последовательности вывода уравнений, описывающих антигравитационное взаимодействие тел» настоящей работы, является кратким описанием логики, физических принципов, последовательности вывода уравнений и конечного результата проведенного исследования и является полезным материалом для базового понимания механизма возникновения антигравитации (без углубления в математический аппарат ОТО). Следующие части работы содержат строгий и полный вывод уравнений согласно ОТО, более глубокое рассмотрение физических процессов и анализ результатов.

3) Строгий вывод уравнений в рамках полной ОТО;

4) Упрощённый вывод уравнений в линеаризованной ОТО (сопоставление с результатами в формализме СТО);

5) Анализ и физическая интерпретация полученных уравнений, который включает в себя:

определение условий, при которых гравитационная сила меняет вектор своего направления (антигравитация);
определение областей знаков силы;
описание ключевой роли материального тела, которое является источником гравитации и одновременно является «точкой опоры» для антигравитации (в т.ч. аналогии с подъемной силой крыла самолета и движением парусника против ветра);
рассмотрение энергетических условий, при которых определена возможность эффективного отталкивания (антигравитации) при положительной плотности энергии-импульса тел и без рассмотрения отрицательной массы или экзотических форм материи.

6) Доказательство реальности антигравитации (инвариантные величины, локальная измеримость, согласованность наблюдателей, уравнения в ковариантной форме и соответствие уравнениям Диксона, аналогия с электромагнетизмом);

7) Формулировка итоговых выводов.

Настоящая работа состоит из семи частей, каждая из которых направлена на решение конкретной задачи исследования.

Таким образом, настоящая статья закладывает фундаментальные теоретические основы рассматриваемой релятивистской модели антигравитационного взаимодействия тел, опираясь на ОТО, как единственно последовательную современную теорию гравитации. В отличие от предшествующих работ данной модели ([2], [3], [4]), использующих формализм СТО (где уравнения справедливы только в приближении слабых гравитационных полей), результат настоящей статьи является общим и носит универсальный характер.

Часть 1. Фундаментальные основы антигравитационного взаимодействия тел

Для понимания в следствии чего при определенных условиях возможно антигравитационное взаимодействие тел необходимо четкое представление о предмете исследования, объекте исследования и ключевого физического принципа ОТО, объясняющего возможность смены направления вектора гравитационной силы. Данному описанию посвящена настоящая часть работы.

1.1. Физическая постановка задачи

Предмет исследования – качественное изменение характера гравитационного взаимодействия (переход от притяжения к отталкиванию) для протяжённого пробного объекта (элемента вещественной материи) в общей теории относительности в зависимости от его состояния движения.

Известно, что вещественная материя – это форма материи, обладающая массой покоя и занимающая определённый объём в пространстве. Таким образом, любой элемент (фрагмент/часть) вещественной материи может быть сколь угодно малым (в пределе dl → 0, dm → 0), но его размер и масса никогда не обращаются в ноль. Это фундаментальное свойство обусловлено квантово-механическими ограничениями, природой массы и математическим аппаратом описания материи. Иными словами, можно сказать, что любой элемент вещественной материи является протяжённым объектом с ненулевой массой. В данном контексте слово «протяжённый» означает не какое-либо значимое значение размера, а именно то, что наличие любой вещественной материи подразумевает как минимум dl → 0, т.е. dl ≠ 0, иначе (при dl = 0) вещественной материи просто не существует.

Объект исследования – это динамическая конфигурация системы, включающая:

1) Источник гравитации – массивное сферически-симметричное тело массой M, создающее стационарное гравитационное поле, описываемое метрикой Шварцшильда. Относительно данного тела M совершает криволинейное движение пробный объект.

2) Пробный объект (элемент вещественной материи) – бесконечно малый отрезок вещественной материи собственной длины L_0 = dl и массы dm. Его масса пренебрежимо мала (dm → 0), что является стандартным допущением для пробных тел в ОТО и гарантирует, что он не искажает фоновую метрику тела M. Геометрически этот элемент в установившемся движении ориентирован радиально относительно центра M: его центр находится на координатном расстоянии r, а концы – в точках r_1 = r + dl/2 (дальний конец) и r_2 = r — dl/2 (ближний конец). Таким образом, ось элемента направлена вдоль градиента гравитационного поля тела M. Условимся, что для краткости в дальнейшем такой протяженный радиальный элемент вещественной материи можем и будем называть «стержнем» или «элемент» («протяженный радиальный элемент вещественной материи в устоявшемся динамическом состоянии» = «стержень» = «элемент»).

Необходимо понимать, что рассматриваемый стержень в реальности будет являться составной частью более крупного объекта, а именно сложной технической конструкции предназначенной для создания гравитационной подъёмной силы. Данная конструкция носит рабочее название «антигравитационное крыло» и должна обеспечивать направленное движение материи по криволинейной замкнутой траектории при высоких скоростях, а также сохранять конструктивную целостность под действием расчётных механических нагрузок.

Под эффектом в настоящей работе понимается антигравитация («эффект» = «антигравитация»).

Приведем схематичную иллюстрацию рассматриваемого стержня и характера его криволинейного движения относительно тела M. Исходя из материалов работы «Основное уравнение антигравитации» [2] (напомним, что это формализм СТО) можно схематично изобразить материальную точку m антигравитационного крыла с бесконечно малым размером dl (см. Рисунок 1). Как раз этот бесконечно малый размер dl и является пробным объектом (он же стержень) в объекте исследования настоящей работы. Данный рисунок хотя и представлен в плоском (неискривленном) пространстве-времени, но схематично отражает ключевой физический механизм возникновения антигравитации – изменение характера гравитационного взаимодействия обусловлено именно криволинейным движением стержня со значительной скоростью относительно тела M (криволинейное движение стержня отмечено на рисунке с указанием угловой скорости его вращения ω относительно оси z, проходящей через центр тела M). Отметим, что для иллюстрации и исключительно для удобства дальнейших рассуждений в качестве криволинейного движения стержня выбрано его вращение относительно тела M (в общем виде движение может быть любым криволинейным, не прямолинейным). Заметим, что стержень не вращается вокруг своей оси или вокруг тела M, а вращается вокруг обозначенной на рисунке оси z, проходящей через центр тела M, поэтому мы и обозначаем, что стержень вращается не вокруг, а относительно тела M.

В настоящей работе (формализм ОТО) будет рассматриваться метрика Шварцшильда, которая использует, помимо временной координаты t, ещё и стандартные сферические пространственные координаты r, θ, φ. Для того, чтобы схематично представить, как именно движется рассматриваемый стержень относительно тела M в сферической системе координат, приведем Рисунок 2. На нем схематично изображена сферическая система координат в трёхмерном пространстве, совмещённая с декартовой системой координат (оси x, y, z), а также размещен бесконечно малый размер dl материальной точки m из Рисунка 1. Отметим, что на Рисунке 2 не изображено тело М, поэтому на нем пространство представлено не искривленным. Подразумевается, что сферически-симметричное тело массой M как раз и будет размещаться в центре изображенных систем координат и тогда пространство-время будет искривленным.

Обращаем особое внимание, что представленные Рисунки 1 и 2 носят условный схематичный характер и отражают ситуацию при ω = 0. Это сделано только для того, чтобы наглядно и схематично продемонстрировать, как стержень располагается в пространстве (в данном случае в плоском пространстве-времени), а направление ω на рисунках обозначено для того, чтобы представить, какое в дальнейшем будет движение стержня. Далее, при наличии тела M и ω > 0 пространство-время будет искривленным, что и будет описываться математически (без наглядной графической иллюстрации) в настоящей работе.

3) Динамические условия и характеристики системы:

3.1) Геометрия установившегося состояния: рассматривается именно установившееся динамическое состояние протяжённого объекта (стержня). Это не является постулатом о материале или утверждением об абсолютно твердом теле, а представляет собой строгое условие на конфигурацию системы, при котором все переходные процессы завершены (когда угловая скорость ω достигла своего целевого значения и далее остается постоянной, т.е. для ее дальнейшего изменения не прикладывается никакой дополнительной энергии, а значит круговое движение является равномерным), а релятивистские эффекты, давление и приливные напряжения уже сбалансированы. Такое условие определяет стационарную геометрию объекта: направление выделенного элемента вещественной материи совпадает с направлением градиента гравитационного поля (∇r), что позволяет корректно определить и вычислить проекцию гравитационного воздействия именно вдоль этого направления. Именно эта фиксированная геометрия позволяет применять аппарат уравнения геодезического отклонения для расчёта силы.

Таким образом, на основании вышеотмеченного следует, что стержень в движущемся состоянии тем же самым объектом, что и покоящийся стержень не является. Это принципиально разные конфигурации одной и той же вещественной материи. Мы рассматриваем не статичный объект, которому затем сообщили скорость, а уже устоявшееся динамическое состояние (конфигурацию), в котором элемент вещественной материи под действием гравитационного поля, внутренних напряжений и собственного движения пришёл к стационарному равновесию. В этом состоянии его внутренняя геометрия такова, что выделенный нами отрезок оказывается строго радиальным – направленным вдоль градиента гравитационного потенциала поля тела M. Именно для этого специфического, динамически сформированного стержня (а не для произвольного его положения) мы далее и вычисляем результирующую силу. Этот выбор не случаен: сила, действующая вдоль градиента потенциала, имеет наиболее ясный физический смысл – это радиальная сила притяжения или отталкивания.

Поэтому, рассматриваемый стержень – это не какой-либо абстрактный стержень или абсолютно твердое тело, а радиально ориентированный элемент вещественной материи более крупного объекта (например, антигравитационного крыла космического аппарата). Это подчёркивает реалистичность конфигурации: вещество, согласно ОТО, может быть таким элементом.

3.2) Движение: стержень совершает криволинейное (в рассматриваемом случае равномерное круговое) движение в экваториальной плоскости (θ = π/2) тела M. Это движение задаётся условием постоянства координатной угловой скорости ω = dφ/dt = const для всех его точек. Следовательно, он движется «как целое», синхронно меняя азимутальный угол φ, и сохраняет в каждый момент свою радиальную ориентацию относительно M.

Более детально о том почему движение оказывается в экваториальной плоскости (θ = π/2) и почему координатная угловая скорость постоянна (ω = const) будет представлено в разделе «1.3. Физическое и математическое обоснование выбора радиального элемента вещественной материи и условия постоянства координатной угловой скорости (ω = const)».

3.3) Определение скоростей: под скоростью какой-либо точки стержня понимается локальная физическая скорость, измеренная относительно мгновенно сопутствующей системы отсчёта (MCRF) статического наблюдателя, покоящегося в данной точке фоновой метрики Шварцшильда. MCRF – это инерциальная система отсчета и ее использование является стандартным и необходимым в ОТО, поскольку только в такой локально инерциальной системе выполняются законы СТО, а измеряемые величины (длина, время, скорость) приобретают прямой физический смысл и являются инвариантами для локального наблюдателя. Это позволяет избежать неоднозначностей, связанных с координатными артефактами, а также корректно вычислить компоненты тензора Римана и символов Кристоффеля для данной точки. Для конца стержня, находящегося на координатном радиусе r’, эта скорость равна (вывод данной формулы будет представлен в разделе «2.1. Логическая последовательность вывода уравнений, описывающих антигравитационное взаимодействие тел»):

где:

где:

r_s – радиус Шварцшильда;

G – гравитационная постоянная;

c – скорость света в вакууме.

Вследствие гравитационного замедления времени (A(r_1) > A(r_2)) из условия постоянства ω автоматически следует, что локально измеряемые скорости концов различны: υ_1 = υ(r_1) > υ_2 = υ(r_2).

1.2. Ключевой физический принцип ОТО

В ОТО фундаментальной динамической величиной, описывающей движение пробного объекта в гравитационном поле, является не сила в ньютоновском смысле, а геометрия его мировой линии в искривлённом пространстве-времени. Свободное (инерциальное) движение соответствует геодезической линии, которая определяется принципом экстремальности (стационарности) собственного времени τ:

где:

δ – символ вариации (поиск экстремальной траектории);

ʃdτ – интеграл собственного времени вдоль мировой линии;

dτ – инфинитезимальный интервал собственного времени, физического времени, измеряемого часами, движущимися вместе с объектом;

c – скорость света в вакууме;

g_μν(x) – метрический тензор, симметричный тензор второго ранга (4 x 4), компоненты которого являются функциями координат и полностью задают геометрию пространства-времени (определяют расстояния и интервалы времени);

dx^μ – инфинитезимальное изменение координат (μ = 0, 1, 2, 3), где обычно:
dx^0 = cdt, dx^1 = dx, dx^2 = dy, dx^3 = dz в локальной декартовой системе или соответствующие дифференциалы в криволинейных координатах;

Повторяющиеся индексы μ, ν подразумевают суммирование по правилу Эйнштейна (сумма от 0 до 3).

Этот принцип выражает тот факт, что пробное тело, предоставленное самому себе, будет двигаться по траектории, которая экстремизирует накопленное собственное время между двумя заданными событиями в пространстве-времени. Данный постулат, заменяющий первый закон Ньютона, является следствием того, что в локально инерциальных системах отсчёта справедливы законы СТО, где свободные частицы движутся по прямым (экстремальным по собственному времени) мировым линиям.

Из принципа экстремальности следуют уравнения геодезической – дифференциальные уравнения, определяющие траектории свободного падения в искривлённом пространстве-времени. При этом «свободное падение» в терминологии ОТО здесь означает движение по геодезической, которое в общем случае направлено в сторону замедленного течения собственного времени относительно удалённого наблюдателя, а не обязательно к конкретному массивному телу. Таким образом, гравитационное взаимодействие в ОТО проявляется не как сила, а как изменение геометрии пространства-времени, которое модифицирует условия экстремальности собственного времени и тем самым определяет форму геодезических.

Ключевым следствием вышеотмеченного является то, что принцип экстремальности собственного времени устанавливает глубокую связь между направлением движения и градиентом темпа хода времени. Этот градиент темпа времени, в свою очередь, порождается градиентом локально измеряемых скоростей различных частей протяжённого элемента вещественной материи, который возникает из-за неоднородности метрики Шварцшильда вдоль данного элемента. В статическом гравитационном поле Шварцшильда собственное время локального покоящегося наблюдателя связано с координатным временем соотношением dτ = √(A(r)) dt, где A(r) = 1 – r_s/r. Следовательно, более глубоко в гравитационном потенциале (меньшее r) собственное время течёт медленнее относительно времени удалённого наблюдателя. Принцип экстремальности собственного времени предписывает, что мировая линия свободной пробной частицы соответствует экстремуму интеграла ʃdτ. Для простейшего случая радиального падения из состояния покоя это приводит к ускорению частицы в сторону уменьшения r, то есть в область, где её собственное время течёт ещё медленнее относительно бесконечности. Именно этот принцип, применённый не к точечной частице, а к протяжённому объекту с градиентом локальных скоростей, позволяет объяснить возможность смены знака эффективной гравитационной силы (возникновение антигравитации).

Таким образом, физический механизм действия гравитации или антигравитации заключается в постоянной конкуренции двух релятивистских поправок к темпу хода собственного времени:

1) Гравитационное замедление времени (√(A(r))), стремящееся ускорить протяженный объект к центру поля;

2) Кинематическое замедление времени (1/γ = √(1 — υ^2/c^2)), связанное с криволинейным движением протяженного объекта. При высоких скоростях эта поправка становится доминирующей. Для элемента данного объекта с градиентом скоростей (υ_1 > υ_2) кинематическое замедление сильнее для дальнего конца. Это создаёт эффективный градиент «суммарного темпа времени» вдоль элемента, который в рамках уравнения геодезического отклонения проявляется как результирующая сила. При превышении критической скорости υ > υ_crit (расчет которой мы представим в разделе «5.1. Критическая скорость») доминирующим становится вклад кинематического замедления, что приводит к такой конфигурации относительных ускорений частей протяженного объекта, при которой результирующая сила направлена от центра массы тела M, т.е. наблюдается антигравитация.

Важнейшим следствием данного подхода является то, что эффект гравитационного отталкивания достигается без привлечения экзотических форм материи с отрицательной плотностью энергии. Тензор энергии-импульса тела массы M остаётся строго положительным (T_00 = ρc^2 > 0), а отталкивание возникает исключительно как кинематический и геометрический эффект, следующий из принципа экстремальности собственного времени, применённого к динамической протяжённой системе в неоднородном гравитационном поле. Это подтверждает, что гравитация в ОТО обладает значительно более богатым спектром проявлений, чем простое притяжение, и качественный характер взаимодействия может кардинально меняться в зависимости от состояния движения пробных тел.

1.3. Физическое и математическое обоснование выбора радиального элемента вещественной материи и условия постоянства координатной угловой скорости (ω = const)

Представим развернутое обоснование выбора радиального элемента вещественной материи и условия постоянства координатной угловой скорости (ω = const), которое будет изложено ниже в следующих пяти пунктах:

1) О природе рассматриваемого элемента вещественной материи (стержня): составная часть протяжённого объекта.

Прежде чем перейти к математике, необходимо еще раз более детально уточнить, что именно мы понимаем под «радиальным элементом вещественной материи». В реалистичных условиях мы рассматриваем не изолированный «стержень» в пустоте, а элемент вещества более крупного протяжённого объекта, находящегося в установившемся динамическом состоянии. Этот объект (а им, например, может являться часть космического корабля в виде антигравитационного крыла) в целом находится в состоянии динамического равновесия: гравитационные, центробежные и внутренние силы сбалансированы. Мысленно разобьём его на множество бесконечно малых частей. В силу сферической симметрии внешнего поля (гравитационного поля тела M) и характера движения, естественно выделить части, ориентация которых связана с направлением на центр поля. Именно такие части мы и называем радиальными элементами. Они являются основными структурными единицами анализа, для которых вначале вычисляется сила, а полная сила, действующая на весь объект, находится последующим интегрированием по всем таким элементам.

Ключевое уточнение о геометрии: Говоря, что элемент «радиально направлен» к телу M, мы подразумеваем, что он ориентирован вдоль направления градиента гравитационного потенциала в искривлённом пространстве-времени. В выбранной нами системе координат Шварцшильда это направление задаётся координатой r. Важно понимать, что само пространство-время искривлено. Сам элемент, будучи физическим объектом в этой геометрии, характеризуется тем, что его физическая длина определяется с учётом неевклидовой метрики. В метрике Шварцшильда, которую мы используем, интервал для чисто пространственного разделения (при dt = 0) в радиальном направлении имеет вид:

где:

ds – инвариантный интервал;

g_rr – радиальная компонента метрического тензора;

dr – разность координатных радиусов.

Причём g_rr = 1/(1 — r_s/r). Следовательно, элемент физической длины dl между двумя точками с бесконечно близкими радиальными координатами r и r + dr определяется как:

Эта формула прямо следует из метрического тензора и показывает, что измеряемое линейкой расстояние (dl) не равно разности координат (dr), а «растянуто» множителем √(g_rr) > 1. Однако, в принятой системе координат, его ориентация определяется как радиальная: его концы лежат на одной линии постоянных углов θ и φ. Постоянство собственной длины L_0 в сопутствующей системе отсчёта является свойством устоявшегося состояния и означает, что интеграл, вычисляющий полную длину элемента:

не зависит от времени. Это обеспечивается двумя факторами:

Статичностью метрики Шварцшильда: Компонента g_rr(r) не зависит от времени t;
Постоянством координат концов в состоянии равновесия: в устоявшемся движении r_1 = const и r_2 = const (относительно центра тела M).

Таким образом, хотя физическая длина L_0 вычисляется по неевклидовой формуле и отличается от простой разности (r_1 — r_2), её значение в данном динамическом состоянии остаётся строго постоянным.

2) Исходные геометрические условия и свойства устоявшегося состояния.

Гравитационное поле тела M описывается метрикой Шварцшильда – решением уравнений Эйнштейна для статического сферически-симметричного случая:

где:

A(r) = 1 – r_s/r;

r_s = 2GM/c^2 – радиус Шварцшильда;

G – гравитационная постоянная;

c – скорость света в вакууме;

t, r, θ, φ — координаты Шварцшильда (координатное время, радиальная координата, полярный и азимутальный углы).

Для анализа радиального взаимодействия удобно в данный конкретный момент наблюдения, связавшись с системой мгновенно сопутствующего локально инерциального наблюдателя (MCRF) на радиусе r, направить локальную пространственную ось x вдоль радиального направления (увеличения r), а ось y – вдоль направления тангенциальной скорости υ. При таком выборе движение изучаемого радиального элемента естественным образом складывается в экваториальной плоскости. Поэтому для всех его точек выполняется условие:

Этот выбор оправдан сферической симметрией поля и не ограничивает общности, так как фиксирует удобную систему отсчёта для анализа.

Примечание: если информацию вышепредставленного абзаца сопоставлять с Рисунком 2, то на указанном рисунке мы разворачиваем систему координат (x, y, z) так, что ось x идет вдоль радиального направления r, а ось y будет вдоль направления тангенциальной скорости υ, которая измеряется в системе отсчета MCRF, т.е. в данный конкретный момент (мгновение) наблюдения.

Важно! Если на Рисунке 2 сделать проекции точек 1 и 2 на ось z, то в метрике Шварцшильда r_d(r) = r∙cos(α), где: r_d – радиус вращения точки элемента относительно оси z, а угол α = (π/2) — θ. Таким образом, r_d = r·cos(α) – верно и в координатном, и в физическом смысле (для радиуса вращения), и не зависит от скорости движения. Физический радиус вращения (локально измеренный) равен r·cos(α) потому, что в азимутальном направлении метрика Шварцшильда даёт:

Поэтому физическая скорость точки элемента равна:

Свойства устоявшегося динамического состояния элемента вещественной материи, как части большего объекта:

Все переходные процессы (упругие колебания, установление формы) завершены;
Внутренние напряжения (силы упругости, давления) находятся в равновесии с внешними гравитационными (приливными) силами;
В сопутствующей системе отсчёта самого элемента его внутренняя геометрия (в частности, расстояния между фиксированными материальными точками) не зависит от собственного времени.

Это состояние является реализуемым в рамках ОТО, в отличие от физически невозможного понятия абсолютно жёсткого тела, подразумевающего бесконечную скорость передачи взаимодействий. Постоянство формы является следствием достигнутого динамического баланса сил.

3) Обоснование ориентации радиального элемента вещественной материи (стержня): связь с направлением гравитационного взаимодействия.

Ориентация выделенного элемента вещественной материи (стержня) вдоль радиального направления (координаты r) определяется природой самого гравитационного взаимодействия в рассматриваемой геометрии.

Классический предел (ньютоновское понимание): Гравитационная сила является центральной, т.е. направленной вдоль линии, соединяющей взаимодействующие тела;
В рамках ОТО (искривлённое пространство-время): В метрике Шварцшильда градиент истинной гравитационной силы (связанный с 4-ускорением, необходимым для удержания пробного тела в покое) также направлен вдоль радиуса. Это проявляется в градиенте метрической функции A(r) = 1 – r_s/r, которая определяет и гравитационное замедление времени, и «силу тяжести». Именно вдоль направления r наблюдаются максимальные приливные эффекты.

Поскольку гравитационное взаимодействие в центральном поле направлено радиально, то и разложение протяжённого объекта на элементарные части для анализа этого взаимодействия естественно проводить по направлениям, совпадающим с направлением возможной силы. Вычисление силы, действующей на такой радиальный элемент, имеет прямой физический смысл проекции гравитационного воздействия вдоль линии, соединяющей элемент с центром M.

4) Постоянство собственной длины как свойство устоявшегося динамического состояния и его следствия.

Неизменность внутренней геометрии элемента вещественной материи в его собственном движении является свойством рассматриваемого устоявшегося динамического состояния. Это выражается как постоянство собственной длины L_0 – расстояния между его концами, измеренного в сопутствующей системе отсчёта в один и тот же момент собственного времени элемента τ.

Пояснение на строгом математическом языке: пусть в сопутствующей системе координат элемента (X, Y, Z) его концы имеют фиксированные координаты X_A и X_B. Пространственная метрика в этой системе γ_ij в стационарном состоянии не зависит от τ. Тогда собственная длина есть:

Пояснение на языке внешнего наблюдателя (координат Шварцшильда): рассмотрим две мировые линии концов элемента: (r_1(τ), 𝜑_1(τ)) и (r_2(τ), 𝜑_2(τ)). В состоянии равновесия координаты r_1 и r_2 постоянны. Собственная длина между ними в момент собственного времени τ вычисляется как интеграл вдоль пространственно-подобной геодезической, лежащей в гиперповерхности одновременности сопутствующей системы (т.е. в множестве событий, одновременных для наблюдателя, движущегося с элементом). Для рассматриваемого движения с постоянными r и ω в метрике Шварцшильда эта гиперповерхность одновременности совпадает с координатными поверхностями постоянного времени Шварцшильда t = const. Поэтому на практике L_0 может быть вычислено через координаты в фиксированный момент t:

Постоянство L_0 во времени (как t, так и τ) обеспечивается статичностью метрики (g_rr(r) не зависит от t) и постоянством координат концов (r_1 = const, r_2 = const).

Простое объяснение: Представьте себе вращающуюся с постоянной скоростью твёрдую спицу. Если вы путешествуете вместе с ней, её длина для вас всегда одинакова, как бы быстро она ни вращалась. Это и есть реализация условия L_0 = const в сопутствующей системе.

5) Логический вывод условия ω = const в координатах Шварцшильда.

Теперь покажем, как из свойств радиальной ориентации, постоянства собственной длины и устоявшегося характера движения с необходимостью следует условие постоянства координатной угловой скорости:

а) Свойство радиальной ориентации в глобальных координатах: определение радиального элемента означает, что в любой фиксированный момент координатного времени Шварцшильда t линия, соединяющая концы элемента, должна лежать вдоль луча с постоянными θ и 𝜑. Это эквивалентно требованию равенства азимутальных углов концов в один и тот же момент t:

В противном случае соединяющая их линия была бы хордой, а не радиусом в выбранной системе координат. Это формальная запись на языке координат исходного физического определения ориентации объекта.

б) Следствие для угловых скоростей: из равенства 𝜑_1(t) = 𝜑_2(t) немедленно следует равенство их производных по координатному времени:

Следовательно, ω_1(t) = ω_2(t). Обозначим эту общую величину как ω(t), где: ω(t) – координатная угловая скорость.

в) Свойство устоявшегося динамического состояния: ключевое свойство рассматриваемого движения – постоянство скалярных кинематических величин (например, модуля скорости υ и угловой скорости ω) и непрерывное изменение направления векторных величин (например, вектора скорости) из‑за криволинейности траектории концов элемента. Если бы ω зависело от t, это означало бы наличие углового ускорения, требующего внешних моментов сил или изменения внутренних напряжений, что нарушило бы само свойство устоявшегося динамического состояния. Поэтому в данном состоянии:

Это просто означает, что вращение происходит с постоянной скоростью.

Поэтому, итоговая логическая цепочка представляется следующей:

Радиальная ориентация → 𝜑_1(t) = 𝜑_2(t) → ω_1 = ω_2 = ω(t).

Устоявшейся характер движения → ω(t) = const.

Таким образом, условие ω = const не является независимым постулатом. Оно выводится как математическое следствие физических свойств, описывающих состояние объекта.

Часть 2. Построение логической последовательности вывода уравнений, описывающих антигравитационное взаимодействие тел

Настоящая часть работы является кратким описанием логики, физических принципов, последовательности вывода уравнений и конечного результата проведенного исследования и является полезным материалом для базового понимания механизма возникновения антигравитации (без углубления в математический аппарат ОТО).

Также в конце текущей части работы будет представлено рассмотрение эмпирического доказательства возможности антигравитации на примере реально используемой технологии GPS/ГЛОНАСС, которые (антигравитация и GPS) в своей основе используют единый фундамент ОТО (время не абсолютно), а именно сумму гравитационного и кинематического замедления времени.

2.1. Логическая последовательность вывода уравнений, описывающих антигравитационное взаимодействие тел

Вывод уравнений, описывающих возможность антигравитации, строится как последовательное выявление точных связей между геометрией пространства-времени, кинематикой объекта в его установившемся состоянии и результирующей силой. Фундаментальной основой является принцип экстремальности собственного времени, согласно которому свободно движущаяся пробная частица следует по геодезической – мировой линии, которая делает собственное время экстремальным. Любое отклонение от такой траектории интерпретируется как действие силы.

Вывод начинается с определения физической системы и её состояния: рассматривается пробный элемент вещественной материи в устоявшейся динамической конфигурации, радиально ориентированный в статическом сферически-симметричном поле массы M, описываемом метрикой Шварцшильда, где:

M – масса центрального гравитирующего тела;
r_s = 2GM/c^2 – её радиус Шварцшильда;
G – гравитационная постоянная;
c – скорость света в вакууме.

Ключевым является описание этого динамического состояния: элемент совершает криволинейное движение (в рассматриваемом случае равномерное круговое движение, т.е. вращение) относительно тела M, причём в его собственной (сопутствующей) системе отсчёта расстояние между концами, то есть собственная длина L_0 = dl, остаётся постоянной. Это состояние описывает не гипотетически абсолютно жёсткое тело, а физически реализуемую в рамках ОТО установившуюся конфигурацию, в которой все внутренние напряжения и релятивистские деформации сбалансированы.

Данное физическое состояние, определённое в сопутствующей системе, должно быть корректно выражено в глобальных координатах, используемых для описания всей системы. В координатах Шварцшильда условие постоянства собственной длины элемента проявляется как постоянство координатной угловой скорости ω = d𝜑/dt для всех его точек, где:

ω – координатная угловая скорость;
𝜑 – азимутальный угол;
t – координатное время.

Это соответствие является не очевидным тождеством, а точным следствием метрики: для того, чтобы концы элемента, находящиеся в точках с различным гравитационным потенциалом A(r) = 1 – r_s/r, сохраняли постоянное расстояние в своей системе покоя, их движение в координатах должно быть синхронизировано именно таким, особым образом. Это первый важный переход от качественного описания состояния к количественному координатному условию.

Следующий и принципиальный шаг – вычисление локальных, физически измеримых скоростей концов элемента. Физическая скорость определяется относительно мгновенно сопутствующей системы отсчета (MCRF) по правилу:

Для точки на расстоянии от оси вращения r_d собственное смещение по азимуту составляет r_d∙d𝜑, а собственное время покоящегося там наблюдателя есть dτ = √(A(r)) dt, где:

dτ – собственное время;
√(A(r)) – множитель гравитационного замедления времени.

Следовательно, локальная скорость получается, как (см. так же уравнение (10)):

Эта формула является сердцевиной всего вывода, так как показывает, что в ОТО локальная скорость определяется не только геометрическим фактором r, но и релятивистским фактором 1/√(A(r)), который отражает гравитационное замедление времени в данной точке поля.

Непосредственный анализ этой формулы для концов элемента с радиусами r_1 = r + dl/2 (дальний) и r_2 = r — dl/2 (ближний) позволяет установить точный характер их движения. Поскольку:

а функция A(r) возрастает с радиусом, знаменатель для υ_1 больше, чем для υ_2. Числитель для υ_1 также больше. Количественный анализ отношения:

показывает, что оно, оставаясь больше единицы (то есть υ_1 > υ_2), одновременно оказывается меньше, чем чисто ньютоновское отношение r_1/r_2. Таким образом, гравитационное замедление времени не отменяет того, что дальний конец движется быстрее ближнего, но уменьшает разницу их скоростей по сравнению с плоским пространством. Именно эта точно рассчитанная разность, а не простое соотношение υ = ω∙r∙cos⁡α, и, что ещё важнее, порождаемый ею градиент Лоренц-факторов:

вдоль элемента становятся тем первичным источником асимметрии, который в рамках уравнений ОТО приводит к качественно новому эффекту – антигравитации.

Имея точные выражения для υ(r) и, следовательно, для 4-скорости U^μ, можно перейти к строгому расчёту силы как меры отклонения от свободного (геодезического) падения, определяемого принципом экстремальности собственного времени. Для этого применяется фундаментальное уравнение геодезического отклонения – основной инструмент ОТО для анализа относительного ускорения пробных масс. В это уравнение подставляются радиальный вектор разделения ξ^μ = (0, dx, 0, 0), фиксирующий геометрию элемента, вычисленные компоненты 4-скорости, содержащие υ(r) и γ(r), и конкретные ненулевые компоненты тензора кривизны Римана для метрики Шварцшильда. Решение этого тензорного уравнения даёт выражение для относительного 4-ускорения концов элемента.

Полученное относительное ускорение затем преобразуется, через геодезическое уравнение с символами Кристоффеля, в 4-ускорение a^μ самого элемента массы dm. Это преобразование есть прямое применение принципа экстремальности собственного времени: вычисленное 4-ускорение a^μ количественно определяет, насколько реальное движение элемента отличается от движения по локальной геодезической (свободного падения). В соответствии с принципом экстремальности собственного времени и его следствием – геодезическим уравнением движения наличие такого ненулевого 4-ускорения и означает, что на элемент действует сила. Его радиальная компонента a^r после алгебраических преобразований принимает вид, явно зависящий от квадрата скорости υ^2 и квадрата Лоренц-фактора γ^2. Элементарная сила, действующая на элемент, находится как dF^r = dm⋅a^r, где dm – масса элемента.

Поскольку входящие в выражение для a^r величины υ и γ сами являются функциями радиальной координаты (υ(r’), γ(r’)), элементарная сила dF^r так же меняется вдоль элемента. Поэтому для нахождения полной силы, действующей на элемент конечной малой длины dl, необходимо проинтегрировать dF^r от r_2 до r_1. Критически важно, что на этом этапе используется именно точная зависимость υ(r’) = (r’∙ω∙cosα)/√(A(r’)), выведенная ранее.

После интегрирования и разложения результата в ряд по малому параметру dl/r получается компактная итоговая формула для силы F в метрике Шварцшильда.

Итоговая логика (описание возникновения антигравитации):

Принцип экстремальности собственного времени (геодезические) →
Определение устоявшегося динамического состояния с радиальной ориентацией элемента →
Условие постоянства собственной длины →
Координатное условие ω = const в метрике Шварцшильда →
Точная формула для локальной скорости в MCRF: υ(r) = r∙ω∙cosα/√(A(r)) →
Установление точного градиента скоростей и Лоренц-факторов: (υ_1 > υ_2, γ_1 ≠ γ_2) →
Подстановка в уравнение геодезического отклонения и вычисление символов Кристоффеля →
Расчёт 4-ускорения a^μ как меры отклонения от геодезической (прямое следствие принципа экстремальности) →
Интегрирование элементарной силы dF^r = dm⋅a^r →
Итоговая формула силы F, демонстрирующая возможность смены знака при υ > υ_crit.

Таким образом, вся цепочка вывода представляет собой последовательное и необходимое движение от фундаментального принципа и определения специфической динамической конфигурации к её точному координатному описанию в искривлённом пространстве-времени, оттуда – к вычислению локальных динамических величин с учётом релятивистских эффектов, и, наконец, к подстановке этих величин в фундаментальные уравнения теории для получения количественного результата. Вычисленная сила есть сила, действующая именно на элемент вещества в его установившемся движущемся состоянии с радиальной ориентацией, и она принципиально отличается от силы, которая действовала бы на тот же элемент вещества в иной конфигурации. Каждый этап обоснования служит для установления точного количественного вида связей в условиях ОТО, что и приводит к глубокому выводу о возможности смены знака гравитационного взаимодействия при достижении критической скорости υ_crit как прямому следствию уравнений Эйнштейна.

2.2. Система GPS/ГЛОНАСС как реальное подтверждение эффектов, лежащих в основе антигравитационного взаимодействия тел

Классическим и практически важным примером совместного действия гравитационного и кинематического замедления времени является работа спутниковых навигационных систем (GPS, ГЛОНАСС, Galileo). Этот пример не является прямой иллюстрацией эффекта гравитационного отталкивания (антигравитации), но наглядно демонстрирует тот же самый физический механизм – конкуренцию двух релятивистских поправок к собственному времени, который приводит в нашем рассмотрении к смене знака силы.

Часы на спутнике и часы на Земле идут с разной скоростью из-за:

1) Гравитационного замедления времени (эффект ОТО). Суть эффекта: часы, расположенные ближе к массивному телу (например, к Земле), идут медленнее, чем часы, находящиеся дальше;

2) Кинематического замедления времени (эффект СТО, из-за движения спутника). Суть эффекта: чем выше скорость объекта, тем медленнее для него течёт время относительно неподвижного наблюдателя.

Спутники GPS/ГЛОНАСС находятся на высотах около 20 000 км. и движутся со скоростью ~4 км/с. Для них одновременно действуют два противоположных релятивистских эффекта [5]:

1) Гравитационное ускорение времени (из-за удалённости от Земли):

часы на спутнике идут быстрее, так как находятся в области более слабого гравитационного поля;
величина эффекта: ~+45,8 мкс/сутки.

2) Кинематическое замедление времени (из-за скорости спутника):

часы на спутнике идут медленнее относительно земных часов;
величина эффекта: ~−7,2 мкс/сутки.

Суммарный эффект:

+ 45,8 мкс/сутки − 7,2 мкс/сутки = + 38,6 мкс/сутки.

Таким образом, часы на спутнике ускоряются на 38,6 микросекунды в сутки по сравнению с земными часами. Без учёта релятивистских эффектов ошибка в определении положения накапливалась бы примерно 11,4 км в сутки.

В Таблице 1 представлено описание аналогии релятивистских эффектов в работе спутников GPS и антигравитационном крыле, т.е. их сходство в применении одного и того же физического механизма.

Таблица 1. Аналогия релятивистских эффектов в работе спутников GPS и антигравитационном крыле.

Естественно, встает вопрос о ключевом отличии релятивистских эффектов в системе GPS и антигравитационном крыле. А ключевым отличием является только масштаб:

В GPS разность потенциалов и скорости (υ_sat/c ∼ 1.3 × 10^-5) приводят к крошечным, но измеримым и критически важным поправкам ко времени;
В антигравитационно крыле для его протяжённого элемента (а не точечного спутника) градиент этих релятивистских эффектов вдоль элемента (разность υ_1 и υ_2, разность A(r_1) и A(r_2)) создаёт нетривиальную силу. Чтобы эта сила сменила знак, требуется колоссальная скорость (υ ∼ c/√2), так как нужно, чтобы кинематический член не просто немного скорректировал гравитационный, а полностью его перевесил.

Оба примера (GPS и антигравитационное крыло) покоятся на едином фундаменте ОТО:

1) Время не абсолютно. Его течение зависит от гравитационного потенциала и состояния движения (метрика g_μν);

2) Физические предсказания (ход часов, сила) определяются комбинацией этих эффектов, описываемой ковариантными уравнениями (геодезические, уравнение отклонения);

3) Экспериментальная проверка в одном случае (GPS) подтверждает правильность математического аппарата, который в другом случае (антигравитационное крыло) приводит к неочевидному, но логически неизбежному следствию – возможности отталкивания (антигравитации).

Таким образом, система GPS является эмпирическим доказательством реальности тех самых релятивистских эффектов (гравитационного и кинематического замедления времени), конкуренция которых в расчёте для протяжённого объекта и приводит к эффекту отталкивания (антигравитации). Это подтверждает, что приведенный в настоящей работе вывод уравнений, описывающих антигравитацию, не является умозрительной спекуляцией, а основан на физических принципах, которые ежесекундно проверяются и используются миллиардами людей. Разница лишь в том, что в GPS мы наблюдаем интегральное влияние на фазу часов, а в нашем рассматриваемом случае – дифференциальное (приливное) влияние на динамику протяжённого объекта.

Часть 3. Строгий вывод уравнения силы в полной ОТО

Рассматривается стержень массы dm и собственной длины L_0 = dl, расположенный радиально в статическом сферически-симметричном гравитационном поле центрального тела массы M. Пространство-время описывается точным решением уравнений Эйнштейна – метрикой Шварцшильда:

где функции:

определяют геометрию искривлённого пространства-времени, а r_s – гравитационный радиус (радиус Шварцшильда).

Стержень вращается как целое относительно центральной массы с постоянной угловой скоростью ω = d𝜑/dt, оставаясь в экваториальной плоскости θ = π/2. Его центр находится на координатном расстоянии r, а концы – в точках r_1 = r + dl/2 и r_2 = r — dl/2.

Для описания движения центра стержня введем 4-скорость U^μ = dx^μ/dτ. В силу кругового движения она имеет компоненты:

Из условия нормировки 4-скорости g_μνU^μU^ν = -c^2 следует фундаментальное соотношение:

Физическую интерпретацию удобно провести через локально измеряемую скорость υ в системе статического наблюдателя, находящегося на радиусе r. Эта скорость связана с угловой скоростью ω соотношением, учитывающим гравитационное замедление времени:

Используя связь dφ/dτ = ω dt/dτ, из условия нормировки находится компонента:

где:

γ = (1 — υ^2/c^2)^-1/2 – Лоренц-фактор.

Таким образом, 4-скорость центра стержня принимает вид:

В сопутствующей системе отсчёта постоянство угловой координатной скорости вдоль всей длины стержня есть:

Следовательно, локальные скорости концов стержня определяются как:

Поскольку r_1 > r_2 и функция A(r) монотонно возрастает с радиусом, возникает важнейшее неравенство:

Для анализа приливных сил, возникающих из-за протяжённости стержня, используется уравнение геодезического отклонения. Вводится вектор бесконечно малого разделения между соседними точками стержня:

Уравнение геодезического отклонения не является независимым вариационным принципом, а есть следствие применения принципа экстремальности времени к двум близким траекториям. Т.е. уравнение геодезического отклонения – это линеаризованное следствие того, что две бесконечно близкие мировые линии являются геодезическими (обе получены из того же принципа).

Уравнение геодезического отклонения, описывающее относительное ускорение, имеет тензорную форму:

где:

R^μ_νρσ – тензор кривизны Римана.

Для метрики Шварцшильда релевантные ненулевые компоненты равны:

Подстановка 4-скорости и вектора разделения даёт для радиальной компоненты:

Учитывая тождество γ^2 = 1/(1 — υ^2/c^2), выражение упрощается до следующей формы:

Сила, действующая на элемент массы стержня, определяется через его 4-ускорение. Для частицы, движущейся по негеодезической траектории с постоянным радиусом, радиальная компонента 4-ускорения вычисляется по формуле:

Символы Кристоффеля для метрики Шварцшильда имеют вид:

После подстановки dt/dτ = γ/√(A(r)) и d𝜑/dτ = γυ/r и алгебраических преобразований получается выражение:

Учитывая, что A'(r) = 2GM/(c^2 r^2), то радиальная компонента 4-ускорения принимает физически прозрачную форму:

Сила на бесконечно малый элемент массы dm тогда равна:

Для нахождения полной силы, действующей на весь стержень, необходимо проинтегрировать это выражение по его длине. При линейной плотности λ = m/dl:

Здесь υ(r’) – локальная скорость на радиусе r’, связанная со скоростью в центре стержня условием постоянства ω:

Вычисление интеграла проводится разложением подынтегральной функции f(r’) = γ^2(r’)[GM/r’^2 — υ^2(r’)/r’] в ряд Тейлора в окрестности точки r:

Интегрирование этого разложения в симметричных пределах даёт:

где:

24 – это техническая деталь интегрирования полинома Тейлора в симметричных пределах.

После подстановки явного вида f(r), вычисления производных с учётом связи υ(r’) и сохранения членов первого порядка по dl получается главный результат – формула для радиальной силы в полной метрике Шварцшильда:

В пределе слабого гравитационного поля, когда r_s/r ≪ 1 и A(r) → 1, формула упрощается до следующего вида:

Эта формула демонстрирует качественно новое явление: при скорости υ > c/√2 сила меняет знак, и гравитационное взаимодействие становится отталкивающим – прямое следствие релятивистской теории тяготения для протяжённых движущихся тел.

Часть 4. Упрощённый вывод уравнения силы в линеаризованной ОТО

В данной части рассматривается приближённый вывод формулы гравитационной силы, действующей на движущийся стержень в рамках линеаризованной общей теории относительности. Это приближение справедливо в слабых гравитационных полях (например, в Земных условиях), где отклонение метрики от плоского пространства-времени Минковского мало.

Линеаризация метрики. В слабом гравитационном поле выполняется условие:

Метрику представляют в виде:

где:

η_μν = diag(-1, 1, 1, 1) – метрика Минковского;

h_μν – малая поправка.

В изотропных координатах для шварцшильдовского поля:

где:

Φ = -GM/r – ньютоновский гравитационный потенциал.

Теперь переходим к уравнению движения в линеаризованной ОТО. Уравнение движения пробной частицы в линеаризованной ОТО имеет вид:

Для статического поля (∂_tΦ = 0) выражение упрощается:

Рассматривается случай чисто тангенциального движения стержня (υ^r = 0, υ^ϕ = υ/r). Для радиальной компоненты (i = r):

Подставляем ∂Φ/∂r = GM/r^2 и υ^ϕ = υ/r:

После упрощения:

Теперь учитываем релятивистские поправки. Для корректного учёта релятивистских эффектов вводится 4-сила и 4-ускорение. При радиальной компоненте скорости υ_r = 0 справедливо:

где:

γ = (1 — υ^2/c^2)^-1/2 – Лоренц-фактор.

С учётом перехода к собственному времени получаем выражение для радиальной силы:

Поскольку концы стержня движутся с разными локальными скоростями υ_1 ≠ υ_2 (из-за условия устоявшегося движения и неоднородности гравитационного поля), силу необходимо усреднить по длине стержня. В линеаризованном приближении (A(r) ≈ 1) выражение для силы на элемент длины dr’ имеет вид:

где:

λ = m/dx – линейная плотность массы;

υ(r’) определяется из условия постоянства угловой скорости ω:

В линеаризованном случае A(r) ≈ 1, поэтому:

После разложения подынтегральной функции в ряд Тейлора и интегрирования в пределах от r — dl/2 до r + dl/2 получается итоговое выражение для силы:

Эта формула является пределом полной формулы из Части 3 при A(r) → 1 (слабом поле).

Часть 5. Анализ и физическая интерпретация результатов

В данной части проводится качественный и количественный анализ полученных формул, устанавливается физическая природа эффекта изменения знака силы, вводятся ключевые понятия критической скорости и механизма отталкивания, а также проводятся аналогии с классическими физическими системами.

5.1. Критическая скорость

Критическая скорость υ_crit определяется условием обращения силы в ноль. Для обеих формул (полной и линеаризованной) это соответствует числителю, равному нулю.

Для полной формулы (Часть 3):

где:

A(r) = 1 – r_s/r, r_s = 2GM/c^2

Решая относительно υ, получаем:

Для линеаризованной формулы (Часть 4):

5.2. Области знаков силы

Из вида формул следует, что знак силы определяется знаком выражения 1 — (2υ^2)/(c^2 A(r)) (в полной ОТО) или 1 — (2υ^2)/c^2 (в линеаризованном приближении).

При υ < υ_crit : F < 0. Сила направлена к телу M – гравитационное притяжение;
При υ = υ_crit : F = 0. Сила отсутствует – динамическое равновесие;
При υ > υ_crit : F > 0. Сила направлена от тела M – гравитационное отталкивание (антигравитация).

5.3. Роль тела M как «точки опоры»

Важным физическим аспектом является необходимость наличия массивного тела M, создающего неоднородное гравитационное поле. Без него эффект отталкивания невозможен.

Приведем еще одну аналогию с парусником в гравитационном «ветре». Рассмотрим парусник, оснащённый двигателем (источник собственного движения) и парусом (элемент, взаимодействующий со средой):

В отсутствие внешнего поля (штиль): Тело M отсутствует, пространство-время плоское (g_μν = η_μν). Парусник движется только под действием двигателя – нет ни гравитационного притяжения, ни отталкивания. Это соответствует случаю отсутствия фоновой гравитации в ОТО;
При наличии тела M: Тело M создаёт неоднородное гравитационное поле – «гравитационный ветер», поток искривлённого пространства-времени. Парусник (стержень) теперь взаимодействует с этим «ветром» через свой «парус» – свою протяжённость в радиальном направлении. Если скорость парусника относительно этого «ветра» превышает критическое значение (υ > υ_crit), возникает эффективная сила отталкивания – парусник «идёт против ветра», используя разность давлений (разность хода времени) на своих концах;
Роль двигателя: Двигатель парусника аналогичен внешнему источнику энергии, поддерживающему движение стержня с постоянной угловой скоростью ω. Без такого «двигателя» стержень либо упадёт на M, либо улетит по инерции, но не будет сохранять круговое движение.

Таблица 3. Соответствие элементам физической модели.

Важное уточнение для научной точности: в отличие от классического паруса, где сила возникает из-за разности давлений воздуха, в рассматриваемой задаче «парус» (стержень) взаимодействует не с веществом, а с геометрией пространства-времени. «Ветер» – это градиент гравитационного потенциала, а «давление» – разность собственного времени на концах стержня. Таким образом, аналогия является концептуальной, иллюстрируя необходимость фонового поля (M) для возникновения силы отталкивания.

5.4. Отталкивание (антигравитация) без отрицательной плотности энергии

Ключевым результатом является демонстрация того, что отталкивание возникает без нарушения энергетических условий. Тензор энергии-импульса для тела M в вакуумной области имеет вид:

При этом выполняются все стандартные энергетические условия:

Слабое условие: T_μνU^μU^ν ≥ 0;
Сильное условие: (T_μν — T‧g_μν/2)U^μU^ν ≥ 0;
Доминирующее условие: T_00 ≥ ∣ T_ij ∣.

Механизм отталкивания (антигравитация) объясняется конкуренцией двух релятивистских эффектов:

Гравитационное замедление времени:

dτ/dt = √(A(r));

Кинематическое замедление времени:

dτ/dt = 1/γ, γ = 1/√(1 — υ^2/c^2).

При υ > υ_crit кинематическое замедление времени начинает доминировать. Стержень «стремится» в область, где его собственное время течёт медленнее, то есть от тела M (поскольку вдали от M гравитационное замедление меньше, но кинематическое замедление при большой скорости может сделать суммарный ход времени ещё медленнее в удалённой области).

Физический смысл эффекта:

Не является артефактом системы отсчёта – описывается инвариантными величинами (тензор силы, 4-ускорение);
Требует протяжённого тела – точечная частица не проявляет данного эффекта в чистом виде. Любая вещественная материя протяженная (имеет размер, иначе нет материи);
Обусловлен нелинейностью гравитационного поля – является проявлением приливных эффектов в релятивистском движении;
Согласуется с принципом экстремального собственного времени – движение корректируется так, чтобы собственное время было максимальным (или экстремальным) в данных условиях.

Таким образом, представленное выше не только количественно определяет условия смены знака силы, но и даёт глубокую физическую интерпретацию эффекта, подчёркивая его реалистичность и соответствие фундаментальным принципам ОТО.

Часть 6. Доказательство реальности эффекта антигравитации

В данной части строго обосновывается физическая реальность эффекта гравитационного отталкивания при сверхкритических скоростях. Доказательство строится на инвариантных величинах, локальной измеримости, согласованности наблюдателей и ковариантном формализме ОТО, что исключает трактовку эффекта, как координатного артефакта.

6.1. Инвариантные величины

Эффект считается физически реальным, если он описывается величинами, инвариантными относительно выбора системы координат.

4-ускорение:

где:

U^μ = dl^μ/dτ – 4-скорость;

Γ^μ_νρ – символы Кристоффеля.

4-ускорение является тензорной величиной. Его квадрат:

есть скалярный инвариант (не зависит от системы координат).

Для стержня при υ > υ_crit вычисления дают:

Скаляр кривизны мировой линии:

есть инвариантная мера «негеодезичности» движения (отклонения от свободного падения).

Ненулевое значение κ указывает на наличие реальной силы.

6.2. Локальная измеримость

Реальность эффекта подтверждается мысленным экспериментом, основанном на локально измеряемых величинах.

Эксперимент – два идентичных стержня:

Стержень A: υ_A < υ_crit,
Стержень B: υ_B > υ_crit,
Оба отпущены с одного радиуса r в один момент координатного времени.

Инвариантный результат: Расстояние между стержнями (измеренное по собственной длине) со временем увеличивается. Это фиксирует любой наблюдатель, независимо от его движения.

6.3. Согласованность наблюдателей

Рассматриваются три типа наблюдателей и доказывается, что все они приходят к единому выводу о знаке силы.

1) Статический наблюдатель на бесконечности: использует координаты Шварцшильда (t, r, θ, 𝜑). Фиксирует изменение координаты r стержня:

При υ > υ_crit наблюдает удаление стержня от M.

2) Свободно падающий наблюдатель (начально покоившийся на радиусе r): использует локально инерциальную систему. В его системе отсчёта стержень имеет ненулевое 4-ускорение a^μ, что указывает на наличие силы.

3) Наблюдатель, жёстко связанный со стержнем: измеряет силу давления на опоры, удерживающие стержень от свободного падения:

При υ > υ_crit чувствует отталкивающую силу.

Согласованность: все три наблюдателя, используя свои измерения и преобразования, приходят к единому выводу:

При υ > υ_crit стержень удаляется от тела M под действием реальной силы.

6.4. Уравнения в ковариантной форме (соответствие уравнениям Диксона)

Все представленные выше выводы имеют полное согласование с уравнениями Диксона. Что описывают уравнения Диксона? Уравнения Диксона (1970) – это полная релятивистская динамика протяжённых тел в ОТО. Для тела с тензором спина S^μν и 4-импульсом p^μ они имеют вид:

где:

Первое уравнение – аналог второго закона Ньютона: сила определяется взаимодействием спина тела с кривизной пространства-времени (R^μ_νρσ) плюс внешние негравитационные силы;
Второе уравнение – закон переноса спина.

Ключевой момент: член (-1/2)‧R^μ_νρσ‧u^ν‧S^ρσ – это точное выражение для гравитационной силы, действующей на протяжённое вращающееся тело. Эта сила возникает только, если у тела есть спин (S^ρσ ≠ 0) и оно движется (u^ν ≠ 0).

Как рассматриваемый стержень связан с формализмом Диксона? В представленной в настоящей работе модели:

Стержень радиален и движется → у него есть орбитальный угловой момент относительно центра M. В формализме Диксона такой объект обладает ненулевым тензором спина S^ρσ, поскольку спин включает в себя не только собственное вращение, но и момент, связанный с многочастичной структурой тела относительно его центра масс;
Мы применяем уравнение геодезического отклонения (смотри уравнение (32)), которое, по сути, является линеаризованной или пробной версией члена Диксона, описывающего взаимодействие спина с кривизной. Уравнение геодезического отклонения:

можно рассматривать как уравнение для «пробного спина», где вектор разделения ξ^ρ играет роль, аналогичную тензору спина S^ρσ (в упрощённом, неантисимметричном виде). Оба члена (Ruξu в настоящей работе и RuS в работах Диксона) имеют одинаковую физическую природу: кривизна, натянутая на 4-скорость и характеристику протяжённости (спин/разделение), даёт силу.

Стоит отметить, что:

Определение спина: в строгом подходе Диксона спин определяется относительно центра масс тела и удовлетворяет условию ортогональности S^μν p_ν = 0. Рассматриваемый стержень с фиксированной радиальной ориентацией – это частный случай конфигурации с определённым спином. Мы не проводим процедуру выделения центра масс и спина, а рассматриваем устоявшеюся конфигурацию;
Учёт мультипольных моментов: полные уравнения Диксона включают в себя квадрупольные и высшие мультипольные моменты тела, которые влияют на движение. Мы ограничиваемся дипольным приближением (спин/протяжённость), что для рассматриваемого стержня является главным эффектом;
Внешние силы (F_ext): у Диксона этот член отвечает за негравитационные силы, необходимые для поддержания заданной траектории (в рассматриваемом случае настоящей работы – для сохранения постоянства r и ω). В выводах настоящей работы мы неявно вычисляем именно эту силу, приравнивая Dp^μ/dτ к выражению, полученному из уравнения отклонения, и полагая F_ext = 0 для случая свободного движения (геодезического) при υ > υ_crit.

Таким образом, эффект гравитационного отталкивания (антигравитация) при высоких скоростях должен быть воспроизводим в рамках уравнений Диксона. Член RuS может менять знак в зависимости от взаимной ориентации спина и 4-скорости. Антигравитация, по сути, является проявлением этого общего свойства: при определённой ориентации «пробного спина» (радиальный стержень) и достаточно большой величине 4-скорости, градиент кривизны (приливные силы) приводит к тому, что спин-кривизное взаимодействие преобладает над «фоновым» геодезическим притяжением центра масс.

Итого, выводы настоящей работы не противоречат уравнениям Диксона, а представляет собой их наглядную физическую интерпретацию и моделирование для конкретной, симметричной конфигурации.

Мы заменяем:

Тензор спина S^ρσ → на вектор разделения ξ^ρ (радиальный);
Полное уравнение Диксона → на уравнение геодезического отклонения (что корректно для пробных тел);
Общую теорию протяжённых тел → на частный случай радиального элемента.

Таким образом, мы извлекаем и демонстрируем на простой модели тот самый фундаментальный механизм силы Диксона (RuS), который в полной общности описывается его уравнениями. Вышепредставленная логика находится в полном концептуальном согласии с этим формализмом, а полученный эффект отталкивания должен быть его частным предсказанием. Это сильная сторона представленного вывода: он показывает глубокую физику (взаимодействие спина с кривизной) на доступном математическом аппарате.

6.5. Аналогия с электромагнетизмом

Ниже проводится аналогия с силой Лоренца в электродинамике для демонстрации принципиальной возможности зависимости знака силы от скорости.

В электромагнетизме:

Покоящийся заряд: F = qE (сила Кулона);
Движущийся заряд: F = q(E + v×B) (сила Лоренца). При определённых v и B сила может менять направление.

В рассматриваемой в настоящей работе задаче (гравитация в ОТО):

Покоящийся стержень: притягивается к M (чистая «гравитостатическая» сила);
Движущийся стержень: появляется дополнительная «гравимагнитная» составляющая силы, связанная с движением в нестационарном (с точки зрения стержня) гравитационном поле;
При υ > υ_crit эта составляющая превышает ньютоновское притяжение, приводя к отталкиванию.

Общий вывод аналогии: как в электродинамике сила зависит от скорости, так и в ОТО движение тела в гравитационном поле может радикально менять характер взаимодействия. Оба эффекта реальны и инвариантны.

Итог Части 6:

Эффект отталкивания (антигравитация) описывается инвариантными тензорными величинами (4-ускорение, скаляр кривизны);
Он локально измерим через относительное движение тел;
Все наблюдатели, независимо от состояния движения, согласуются в его существовании и знаке;
Эффект встраивается в ковариантный формализм ОТО (уравнения Диксона);
Он имеет прямую аналогию с известными эффектами в электродинамике, что подчёркивает его физическую реализуемость.

Таким образом, эффект гравитационного отталкивания (антигравитация) при сверхкритических скоростях является реальным физическим явлением в рамках ОТО, а не артефактом выбора системы отсчёта.

Часть 7. Резюме и выводы

В данной части систематизированы основные результаты, полученные в ходе вывода, сформулированы итоговые формулы, дана их физическая интерпретация и указаны области применимости. Часть служит обобщающим заключением, подтверждающим реальность и инвариантность открытого эффекта гравитационного отталкивания (антигравитации).

7.1. Основные результаты

Полная формула в метрике Шварцшильда (выведенная в Части 3):

Формула в линеаризованном приближении (слабое поле) (Часть 4):

Данное выражение является предельным случаем полной формулы при r_s/r → 0, т.е. A(r) = 1 — r_s/r ≈ 1.

Формула согласно формализма СТО (работа [4]):

Это полное соответствие, если в уравнении (74) делаем упрощение на c^3. Результат по формализму ОТО = результату по формализму СТО.

Критическая скорость – скорость, при которой сила меняет знак:

В полной ОТО:

В линеаризованном приближении:

Это полное соответствие результатам работы [3] в формализме СТО.

7.2. Физическая интерпретация

Механизм эффекта основан на конкуренции двух релятивистских замедлений времени:

Гравитационного: dτ/dt = √(A(r));
Кинематического: dτ/dt = 1/γ, где γ = 1/√(1 — υ^2/c^2), при υ > υ_crit доминирует кинематическое замедление, что приводит к эффективному отталкиванию от тела M.

Условия возникновения эффекта:

Наличие протяжённого тела (стержня) с конечной длиной dl – это и есть неотъемлемое условие существования вещественной материи;
Его движение с тангенциальной скоростью υ;
Наличие градиента гравитационного поля (неоднородности), создаваемого телом M.

Роль тела M – создание искривлённого пространства-времени, которое служит «точкой опоры» или «гравитационной средой» для взаимодействия. Без M эффект невозможен.

Энергетические условия – эффект возникает без нарушения стандартных энергетических условий (слабого, сильного, доминирующего). Тензор энергии-импульса T_μν для тела M имеет положительную плотность энергии (T_00 > 0), что исключает необходимость в экзотической материи.

7.3. Заключительное резюме

Проведённый вывод в рамках общей теории относительности позволил получить замкнутую аналитическую формулу для радиальной силы, действующей на элемент вещественной материи, движущийся в гравитационном поле массивного тела. Установлено существование критической скорости, превышение которой приводит к смене знака силы с притяжения на отталкивание.

Ключевые инсайты:

Эффект обусловлен разностью условий на концах протяжённого объекта;
Он возможен без привлечения экзотических форм материи и не нарушает фундаментальные физические принципы;
Эффект инвариантен и измерим, что подтверждает его физическую реальность.

Таким образом, открыт новый механизм гравитационного взаимодействия в ОТО, расширяющий понимание динамики протяжённых объектов и открывающий перспективы не только для теоретических, но и экспериментальных исследований в будущем.

Источники информации

Антигравитация. Релятивистская модель антигравитационного взаимодействия тел. – URL: https://antigravity-theory.ru (дата обращения: 05.01.2026г.).
Пономарев Д.В. Основное уравнение антигравитации. – URL: https://antigravity-theory.ru/основное-уравнение-антигравитации (дата обращения: 05.01.2026г.).
Пономарев Д.В. Точка антигравитации. – URL: https://antigravity-theory.ru/точка-антигравитации (дата обращения: 05.01.2026г.).
Пономарев Д.В. Антигравитационная сила. – URL: https://antigravity-theory.ru/антигравитационная-сила (дата обращения: 05.01.2026г.).
Анализ ошибок в системе глобального позиционирования. – URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Error_analysis_for_the_Global_Positioning_System (дата обращения: 05.01.2026г.).

Дата публикации на сайте "Антигравитация":

05 января 2026г., г.Санкт-Петербург

Дата последней редакции на сайте "Антигравитация":

05 января 2026г., г.Санкт-Петербург

Оригинал статьи размещен на сайте "Антигравитация" по ссылке:

antigravity-theory.ru

Антигравитация - следствие ОТО