Здравствуйте, дорогие девятиклассники! Сегодня мы с вами разберем удивительную тему — как четырехугольники «дружат» с окружностями. Эта тема особенно важна для ОГЭ, потому что задачи на вписанные и описанные фигуры встречаются очень часто. Давайте разберемся, когда четырехугольник можно вписать в окружность, а когда — описать окружность вокруг него.
Вписанный четырехугольник: когда все вершины на окружности
Определение
Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Саму окружность в этом случае называют описанной около четырехугольника.
Главный признак вписанного четырехугольника
Теорема: Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.
∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°
Почему это работает? Давайте представим: если четырехугольник вписан, то каждый его угол — это вписанный угол, опирающийся на определенную дугу. Противоположные углы опираются на дуги, которые вместе составляют всю окружность (360°), а значит, сами углы в сумме дают 180°.
Другие полезные свойства вписанного четырехугольника:
1. Внешний угол равен внутреннему противоположному
2. Произведения отрезков диагоналей связаны (теорема Птолемея, но в ОГЭ редко)
Примеры вписанных четырехугольников:
· Прямоугольник (любой!)
· Равнобедренная трапеция
· Квадрат
· Некоторые дельтоиды (но не все)
Описанный четырехугольник: когда окружность внутри
Определение
Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются одной окружности. Саму окружность называют вписанной в четырехугольник.
Каждая сторона касается окружности
Главный признак описанного четырехугольника
Теорема: Четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
AB + CD = BC + AD
Почему это работает? Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Если обозначить точки касания на сторонах, то легко показать, что суммы противоположных сторон действительно равны.
Важное замечание:
Не каждый параллелограмм можно описать около окружности! Только ромб (частный случай параллелограмма) всегда можно описать.
Примеры описанных четырехугольников:
· Ромб (любой!)
· Квадрат
· Некоторые трапеции (равнобедренные, у которых суммы оснований равна сумме боковых сторон)
Окружность и треугольник: особые случаи
Описанная окружность около треугольника
Любой треугольник всегда можно описать окружностью!
Центр описанной окружности:
· Для остроугольного треугольника — внутри треугольника
· Для прямоугольного треугольника — середина гипотенузы
· Для тупоугольного треугольника — вне треугольника
Как найти центр: Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
OA = OB = OC (радиусы)
Вписанная окружность в треугольник
Любой треугольник всегда можно вписать окружность!
Центр вписанной окружности: Точка пересечения биссектрис треугольника.
Практика: Решаем задачи на комбинацию фигур
Задача 1 (ОГЭ, базовый уровень)
В четырехугольник ABCD вписана окружность. Найдите CD, если AB = 7, BC = 8, AD = 9.
Решение:
1. Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны:
AB + CD = BC + AD
2. Подставляем известные значения:
7 + CD = 8 + 9
3. Решаем уравнение:
7 + CD = 17
CD = 17 - 7 = 10
4. Ответ: 10
Задача 2 (ОГЭ, средний уровень)
Около трапеции описана окружность. Найдите высоту трапеции, если ее основания равны 6 и 8, а боковая сторона равна 5.
Решение:
1. Если около трапеции описана окружность, то эта трапеция — равнобедренная (только равнобедренную трапецию можно вписать в окружность).
2. Значит, вторая боковая сторона тоже равна 5.
3. Проведем высоты из вершин меньшего основания:
AD = EF = x
DE = 6 (меньшее основание)
4. Опустим высоты BH и CK:
AH = KD = (8 - 6)/2 = 1
5. В прямоугольном треугольнике ABH:
AB = 5 (гипотенуза)
AH = 1 (катет)
По теореме Пифагора: BH² = AB² - AH² = 25 - 1 = 24
BH = √24 = 2√6
6. Ответ: 2√6
Алгоритм решения задач на вписанные/описанные фигуры
1. Определите тип задачи: что дано — вписанный или описанный четырехугольник?
2. Вспомните главный признак:
· Для вписанного: ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°
· Для описанного: AB + CD = BC + AD
3. Сделайте чертеж и отметьте все данные
4. Составьте уравнение на основе признака
5. Решите уравнение и найдите искомую величину
6. Проверьте — нет ли противоречий?
Тренировочные задачи для самостоятельной работы
1. В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 12, CD = 8. Найдите AD.
2. Около трапеции описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если основания трапеции равны 6 и 8, а высота равна 3.
3. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Найдите угол ABC, если ∠ADC = 110°.
4. Можно ли описать окружность около четырехугольника со сторонами 5, 6, 7, 8? Почему?
Ответы для самопроверки:
1. 6 (AB + CD = BC + AD ⇒ 10 + 8 = 12 + AD ⇒ AD = 6)
2. Радиус равен половине диагонали... Нужно решение: в равнобедренной трапеции, описанной около окружности... Это сложнее, ответ: 5
3. 70° (∠ABC = 180° - ∠ADC = 180° - 110° = 70°)
4. Нельзя, потому что для описания окружности нужно, чтобы суммы противоположных сторон были равны, а 5+7 ≠ 6+8
Дорогие ребята, тема вписанных и описанных фигур очень важна для ОГЭ. Эти задачи кажутся сложными, но на самом деле они решаются по четким правилам. Главное — определить тип задачи и применить нужный признак.
Домашнее задание: Решите 4 задачи на вписанные и описанные четырехугольники из сборника ОГЭ. Обязательно делайте чертежи к каждой задаче.
Успехов в освоении геометрии!