ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ

Теорема:
Если прямая (m), лежащая на плоскости (α), проходит через основание наклонной (AM) и перпендикулярна ее проекции (MH) на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной (AM).

Верно и обратное:

Если прямая (m) на плоскости (α) проходит через основание наклонной (AM) и перпендикулярна самой наклонной (AM), то она перпендикулярна и ее проекции (MH).

AM – наклонная (прямая, пересекающая плоскость (α) под углом, не равным 90°), МН - проекция наклонной на плоскость α, АН - перпендикуляр к плоскости α, m – прямая, лежащая в плоскости α

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ

Дано:

АН - перпендикуляр к плоскости α

АМ - наклонная

МН - проекция АМ на плоскость α

Прямая m ∈ α, проходящая через основание наклонной АМ, точку М

m ⊥ МН

Доказать: m ⊥ АM

Доказательство:

Проведем прямую МК, параллельно прямой AН

МН || АН (по построению),

AН ⊥ α (по условию)

=> МK ⊥ α

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой, значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, МK ⊥ m

Проведем через параллельные прямые АH и MK плоскость (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну).

MK ⊥ m (по построению),

MH ⊥ m (по условию)

=> m ⊥ AM

Прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

То есть прямая m, лежащая в плоскости α, перпендикулярна наклонной АM.

Что и требовалось доказать.

Где чаще всего встречается теорема о трех перпендикулярах?
Часто используется для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости или между скрещивающимися прямыми. В стереометрических задачах, чтобы доказать, что прямая в плоскости перпендикулярна другой прямой. При построении сечений многогранников помогает находить линии пересечения плоскостей, перпендикулярные рёбрам. А это большая часть заданий на стереометрию!