Вступительные испытания в лицей "Вторая школа" идут полным ходом. Основное внимание до этого мною уделялось поступающим в 6 и 7 классы. Для них я даже запустил онлайн-курс с тренировочными вариантами вступительного экзамена по математике (письменная и устная части) с ответами и решениями всех заданий для самопроверки на сайте своей онлайн-школы https://cleverfox.info/. Кстати, записывайтесь на него, ведь у вас ещё осталось время для подготовки, а доступ к пробному варианту совершенно бесплатный. Однако, приём идёт и в более старшие классы, и чтобы не обделять других поступающих вниманием, решим сегодня любопытную задачу из собеседования по математике в 8 класс лицея "Вторая школа" (Л2Ш). Условие следующее:
Известно, что p, p + 10 и p + 14 – простые числа. Найдите p.
Докажем сперва, что в наборе чисел 𝑝, 𝑝+10, 𝑝+14 найдётся число, которое делится на 3.
Действительно, любое натуральное число при делении на 3 может иметь три возможных остатка: 0, 1 или 2.
- Если остаток от деления числа p на 3 равен нулю, то p = 3n и само p делится на 3.
- Если остаток от деления числа p на 3 равен 1, то p = 3n+1 и число p+14 = 3n+15 делится на 3.
- Если остаток от деления числа p на 3 равен 2, то p = 3n+2 и число p+10 = 3n+12 делится на 3.
Итак, наше вспомогательное утверждение доказано.
Теперь начнём перебирать по возрастанию простые числа.
- Значение p = 2 не подходит, так как в этом случае число p+10 = 12, то есть не является простым.
- Значение p = 3 подходит, так как в этом случае получается набор простых чисел 3, 13, 17.
- Если p>3, то каждое из чисел 𝑝, 𝑝+10, 𝑝+14 больше 3, но при этом одно из них делится на 3, что невозможно, поскольку все они простые.
Итак, никакие другие p, кроме p = 3, не подходят. Это и есть ответ.
Готовьтесь к вступительным экзаменам в лицей "Вторая школа" самостоятельно на https://cleverfox.info/ или с репетитором на https://yourtutor.info/.