Всем привет! В процессе изучения такого раздела математики, как тригонометрия я столкнулся с некоторыми трудностями. Оказалось, что значения тригонометрических функций(SIN, COS, TG, CTG) может быть больше 90°. Но как такое может быть? Ведь мы точно знаем, что тригонометрические функции - это про соотношение сторон в прямоугольном треугольнике. А в прямоугольном треугольнике никакой угол не может быть больше 90°. Но как тогда SIN(120°) = √3/2, а COS(720°) = 1? Давайте попытаемся разобраться в этом вопросе.
Ключевая разгадка заключается в том, что в случаях когда угол превышает 90° мы переходим от прямоугольного треугольника к единичной окружности, где наш прямоугольный треугольник претерпевает некоторые преобразования внутри этой окружности. А угол тригонометрической функции уже обозначает угол дуги на окружности, радиус которой становится гипотенузой нашего нового прямоугольного треугольника по которому мы находим значение тригонометрической функции. Давайте разберёмся как это конкретно происходит.
Построим единичную окружность
Начертим оси X и Y для единичной окружности.
Отложим на осях числа 0, -1, 1 и некоторые промежуточные значения, которые являются табличными значениями 30°, 45°, 60° синуса и косинуса.
√3/2 = 0.866...
√2/2 = 0.707...
1/2 = 0.5
Начертим окружность с центром в точке пересечения осей. Важно чтобы радиус окружности был равен 1 и проходил через оси в точках 1 и -1.
Движение по окружности
По осям X и Y мы можем двигаться влево-вправо, вверх-вниз соответственно. Важно понимать, что мы можем двигаться ещё и по окружности, причём как в положительном, так и в отрицательном направлении. Нулевая точка окружности начинается справа, там же где 1 по оси X. На возрастание движение происходит против часовой стрелки(вверх). На убывание по часовой(вниз).
Движение по окружности принято измерять в двух взаимозаменяемых единицах: градусах и радианах. Градусы всем чаще всего понятны. Окружность делится на 360 частей.
Движение по окружности в градусах
Движение по окружности в радианах
А вот с радианами посложней. 1 радиан - это длинна радиуса окружности. Длинна дуги окружности измеряется в радианах(радиусах). Здесь появляется общеизвестное число П = 3.14...
Половина окружности - это 3.14... её радиуса или 180°. Это и означает число П - половина длинны окружности, измеренная в её радиусе. Соответственно 2П - это длинна дуги полной окружности.
Бесконечность движения по окружности
Теперь важно понимать что движение по окружности происходит не просто зациклено до 2П и снова от 0, а до бесконечности, как по спирали. Когда мы задаём угол больше 2П или 360° мы делаем полный оборот по окружности и как бы переходим на 2 уровень, где начинается движение по второй окружности. Например 720° или 4П это 2 полных оборота по окружности, хоть визуально точка эта будет в том же месте на нашем графике, где 2П(360°) и 0. -4П соответственно 2 полных оборота в обратном направлении.
Промежуточные значения на окружности в радианах
А что если мы хотим указать угол не кратный половине окружности в радианах? Для этого есть несколько общепринятых дробных значений для числа П(табличных), которые соответствуют углам в 30°, 45° и 60°.
П/6 = 30° - это одна шестая часть от половины окружности.
П/4 = 45° - это четвёртая часть от половины окружности.
П/3 = 60° - это одна третья часть от половины окружности.
Так мы можем задавать координату на окружности более точно, например 2П + П/6. Это 1 полный оборот и ещё 1/6 часть от половины окружности. В градусах это 390°.
Если мы хотим в радианах посчитать угол, например в 120°, то это как 4 раза по 30° или 2 раза по 60°. Что в радианах 4П/6 или если сократить дробь 2П/3.
Просто добавляем коэффициент сколько раз мы берём по П/6 перед буквой П в дробь и так мы задаём координату по дуге окружности в радианах. 4П/6 = 2П/3 = 120°.
Теперь мы научились двигаться по окружности градусах и радианах. Давайте наконец-то перейдём к прямоугольному треугольнику. Именно по нему мы будем понимать значение тригонометрической функции угла больше 90°.
Прямоугольный треугольник.
Прямоугольный треугольник в 1 четверти окружности
Построим прямоугольный треугольник с углом 60° внутри нашей окружности так, чтобы радиус окружности был гипотенузой треугольника, а первый катет(синий) был перпендикуляром на ось X от точки в которой радиус соприкасается с дугой. Второй катет(оранжевый) будет всегда лежать на оси X между двумя другими сторонами треугольника. Именно так нужно строить прямоугольный треугольник на единичной окружности.
По сколку длина радиуса окружности = 1, то и гипотенуза треугольника тоже = 1. Теперь посмотрим на угол треугольника при центре окружности. Мы знаем, что синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Если мы измерим длину катета напротив угла в 60°(синего), то получим длину в точности соответствующую значению синуса 60° = √3/2 или 0.866... В этом и есть суть единичной окружности. Радиус окружности и длина гипотенузы прямоугольного треугольника, который он образует = 1 из-за этого значения тригонометрических функций этого треугольника в точности соответствуют длинам его сторон по осям X и Y. Если мы сделаем проекции катетов треугольника на оси X и Y, то длинны этих проекций на осях будут точно соответствовать значениям SIN и COS угла этого треугольника при центре окружности. Это очень удобно.
Именно по этому ось X называется осью косинуса(прилежащий катет), а ось Y осью синуса(противолежащий катет). Они соответствуют длинам катетов прямоугольного треугольника и тригонометрической функции угла прямоугольного треугольника, того из двух, который у центра окружности.
Угол больше 90°
Теперь рассмотрим что происходит, когда угол больше 90°.
Возьмём угол 120°. Отложим его на окружности.
Мы перейдём во 2 четверть окружности. Четверти нумеруются начиная от направления движения по окружности в положительном направлении. 1 четверть самая важная. По ней мы уже определили с какими осями будет ассоциироваться SIN и COS нашего прямоугольного треугольника. Так же в 1 четверти угол окружности соответствует углу прямоугольного треугольника, но это меняется в следующих четвертях.
По правилу описанному выше построим прямоугольный треугольник. Отпустим перпендикуляр к оси X и посмотрим на угол в прямоугольном треугольнике при центре окружности. Его угол при центре окружности = 60°. Синус угла 60° = √3/2. Косинус угла 60° = 1/2. Но поскольку мы находимся во 2 четверти, где ось X косинуса имеет отрицательное направление, то значит COS(120°) = -1/2. Минус здесь указывает на четверть окружности в которой находится наш прямоугольный треугольник, а конкретнее в каком направлении по осям лежит катет тригонометрической функции.
В итоге угол тригонометрической функции в случае, когда он больше 90° указывает не угол в прямоугольном треугольнике, а угол на окружности, который образует новый прямоугольный треугольник. По нему мы находим значение тригонометрической функции, а минус в значении указывает на четверть окружности в которой находится этот прямоугольный треугольник.
Заключение
Теперь становится понятно откуда берётся минус у значений тригонометрических функций при некоторых углах больше 90°. Знак здесь указывает на положение треугольника на единичной окружности и его катетов на осях X и Y. А угол больше 90° в тригонометрической функции уже относится к углу на единичной окружности, а не прямоугольного треугольника, потому что попадает в другие четверти окружности, где прямоугольный треугольник преобразовывается. Вот как угол тригонометрической функции может быть больше 90°, несмотря на то что тригонометрические функции относятся к прямоугольному треугольнику. Он просто преобразуется внутри окружности.
Это всё нужно для описания некоторых плавно повторяющихся движений, которые могут меняться от положительного до отрицательного значения и обратно. Например гармонические колебания маятника или движение электрических волн переменного тока по проводам.
Спасибо за внимание!