В Испании вновь обсуждают необычную математическую задачу, связанную с традиционной рождественской лотереей. В этом году профессор математики из Мадрида предложил участникам вычислить вероятность того, что из ящика с определённым количеством билетов два случайно выбранных окажутся с чётными номерами. Условия были просты: в ящике лежит от 30 до 40 билетов, но точное число неизвестно. Известно лишь, что вероятность вытащить два чётных билета составляет ровно одну треть. Вопрос заключался в том, какова вероятность того, что оба выбранных билета окажутся с нечётными номерами.
Решение задачи оказалось не таким уж простым, как могло показаться на первый взгляд. Для начала нужно было определить, сколько всего билетов находится в ящике, а также сколько из них имеют чётные номера. Математик обозначил общее количество билетов буквой T, а число чётных билетов — буквой N. Количество способов выбрать два билета из T — это произведение T на (T-1). Аналогично, способов выбрать два чётных билета — N на (N-1). Вероятность получить два чётных билета вычисляется как отношение этих произведений: N x (N-1) / (T x (T-1)).
Далее следовало найти такие значения T и N, чтобы это отношение равнялось одной трети, а T находилось в заданном диапазоне. Математик заметил, что произведение T x (T-1) должно делиться на три, чтобы результат был целым числом. Это позволило исключить некоторые значения T, которые не подходят по этому критерию. После перебора возможных вариантов выяснилось, что единственное подходящее значение — 36. То есть, в ящике лежит ровно 36 билетов, из которых 21 — с чётными номерами, а остальные 15 — с нечётными.
Проверка вероятностей
Когда удалось определить точное количество билетов, оставалось вычислить вероятность того, что оба выбранных билета окажутся с нечётными номерами. Для этого нужно было рассчитать количество способов выбрать два нечётных билета: 15 x 14. Общее количество способов выбрать любые два билета — 36 x 35. Делим одно на другое и получаем: (15 x 14) / (36 x 35) = 1/6. Таким образом, вероятность вытащить два билета с нечётными номерами составляет одну шестую.
Интересно, что если сложить вероятность вытащить два чётных билета (1/3) и вероятность вытащить два нечётных (1/6), получится ровно половина. Это значит, что оставшаяся вероятность (ещё 1/2) приходится на случаи, когда один билет чётный, а другой — нечётный. Такая симметрия в распределении вероятностей добавляет задаче особый математический шарм.
Другие варианты
Математик также рассмотрел, что было бы, если бы количество билетов не ограничивалось диапазоном от 30 до 40. В этом случае появлялись бы и другие решения. Например, если в ящике всего 3 билета, из которых 2 чётные, вероятность вытащить два чётных — всё равно одна треть, но вероятность вытащить два нечётных — уже нулевая. Если билетов 10, а чётных среди них 6, вероятность двух чётных — одна треть, а двух нечётных — две пятнадцатых. При 133 билетах и 77 чётных вероятность двух чётных — одна треть, а двух нечётных — десять пятьдесят седьмых.
Оказывается, существует бесконечно много пар целых положительных чисел, которые удовлетворяют этим условиям. Они связаны с так называемым уравнением Пелля, известным в теории чисел. Однако в условиях задачи специально был указан диапазон от 30 до 40, чтобы сузить круг поиска до единственного решения.
Участие и награды
В этом году задача вызвала большой интерес среди любителей математики и студентов. Многие пытались найти ответ как с помощью простого перебора, так и с использованием более сложных математических методов. В итоге правильное решение удалось получить нескольким участникам, среди которых оказались и совсем юные читатели.
В знак признательности организаторы решили поощрить трёх молодых участников, которые первыми прислали верные решения. Им вручат книги от Испанского математического общества. Автор задачи поздравил всех с наступающим Рождеством и пожелал удачи в новом году.