Что такое Великая теорема Ферма?

Отвечает сотрудник отдела научных коммуникаций ЮУрГУ Остап Давыдов:

Великая теорема Ферма – одна из самых известных в мире математических задач. У неё очень простая формулировка, доступная среднему школьнику, который изучил операцию возведения в степень. Веками её доказательство манило умы, но всё время ускользало. В итоге оно оказалось таким сложным, что его способны понять и воспроизвести далеко не все профессиональные математики.

Дано уравнение: a^n+b^n=c^n

Можно ли решить его при различных степенях n?

Сразу оговоримся: а, b и с – натуральные числа, то есть 1, 2, 3, 4… (без ноля!).

Задача стояла давным-давно, а тогда ни иррациональных, ни комплексных чисел не знали.

Конечно, вы легко придумаете пример с n=2, 4^2+3^2=5^2. Числа, которые в квадрате раскладываются в сумму квадратов называются пифагоровыми. Догадываетесь, почему? Вспомните теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Закатав рукава, охотно берёмся за n=3! Но тут вас ждёт разочарование: натуральные a, b и c, чтобы a^3+b^3=c^3, придумать не получится. Над этим думали древние греки, древние арабы, но строгое доказательство представил лишь Леонард Эйлер, один из основателей Императорской академии наук в Санкт-Петербурге. То был конец XVIII века.

При n=4,5…, вообще при любом n > 2, подобрать такие натуральные числа также не удастся. Веками математики штурмовали этот закон при различных конкретных показателях степени n.

Ах, если бы доказать теорему в общем случае: для натуральных a, b, c уравнение an+bn=cn не имеет решений при n > 2.

Эта теорема и называется Великой теоремой Ферма. Но кто дал ей имя? Обычно теоремы называют именем того, кто их доказал.

Пьер Ферма был современником д’Артаньяна, и тоже гасконцем. Однако в юности он не стремился в королевские мушкетёры, а закончил юридический факультет университета. Зарабатывал он деньги правоведением, дослужился до должности члена королевского высшего суда и королевского советника парламента. Судебные заседания отвлекали его от математики и сочинения стихов, господин судья вечно куда-то спешил.

Однажды Ферма листал «Арифметику» Диофанта, и на полях оставил надпись. Смысл её в том, что он знает, как доказать неразрешимость таких уравнений, только доказательство не вмещается на полях. Другой бумаги под рукой, очевидно, не оказалось, судья опять куда-то торопился и о своей записи, вероятно, забыл.

Так имя Ферма досталось теореме, которую не он доказал, и ещё не факт, что он впервые сформулировал. Справедливости ради, именем Ферма называется в математике ещё масса понятий: малая теорема Ферма, числа Ферма, спираль Ферма – и там это вполне заслужено.

Последователи нашли эту надпись и впали в диссонанс: как же, учитель знал, как доказать, ему не хватило бумаги, неужели мы не сможем? Не смогли. Проблема стояла открытой ещё примерно три века.

Серьёзные математики начали изучать свойства различных уравнений, задаваемых ими кривых, поверхностей, многомерных многообразий. Так теорема-загадка породила одну из самых уважаемых сегодня отраслей математики – алгебраическую геометрию, которая в итоге и привела к правильному доказательству.

Существовала и масса чудаков, которые читали о Великой теореме Ферма в популярных книгах, слышали на лекциях и бросались штурмовать её, найти решение сходу. Рано или поздно кто-то из них совершал ошибку и не замечал этого. Причём аргументы приводились как за, так и против – некоторые придумывали контрпримеры с очень большими числами, но и они при внимательных подсчётах оказывались неверными. Чаще же такой простак заявлял, что у него есть схема доказательства, а сам он не будет «мелочиться», делая строгие выкладки.

Так имя математика Ферма послужило ещё одному явлению – обидному прозвищу «ферматист». Сегодня так называют невежд, обладателей поверхностных знаний.

Тем временем, математики, работавшие в области алгебраической геометрии, придумали обобщение теоремы Ферма – гипотезу Таниямы-Шимуры. Если эта гипотеза верна, верна и теорема Ферма, а нет – так нет. Но и эту гипотезу доказать оказалось не так-то просто. Горо Шимура весьма состарился, когда гипотеза была доказана, но дожил. Математик Ютака Танияма был подвержен депрессиям и покончил с собой в молодом возрасте.

Во второй половине ХХ века десятилетний мальчик, сын священника в Кембридже, Эндрю Уайлс узнал о Великой теореме Ферма, как многие мальчишки, загорелся идеей её доказать, и конечно не смог. Он стал учиться на математика, выбрал специализацию по алгебраической геометрии, учился и преподавал в Кембридже, Оксфорде и американском Гарварде.

И вот, будучи человеком далеко за 35 лет, Уайлс объявил, что доказал гипотезу Таниямы-Шимуры.

В названии его работ упоминались модулярные эллиптические кривые. Если бы работа называлась просто «Доказательство Великой теоремы Ферма», многие сочли бы ее ферматистской, не читая. Но наука не любит сенсаций. Поэтому работы, содержащие великие открытия, называются как-то скромно и сложно, но умному достаточно, чтобы понять, о чем речь.

Уайлсу указали не то чтобы на ошибку, а на пробел в его доказательстве. Он опирался на метод Эйлера, сам же говорил о его обобщении. Пробел следовало закрыть, иначе первенства в решении задачи не получишь.

Математикам не дают Нобелевскую премию. Нобель, по легенде, рассуждал как капиталист-промышленник: важно награждать полезные изобретение, а что делают математики – они просто что-то считают. Редкие математики, которые становятся лауреатами, получают Нобелевку за нечто прикладное, например, за приложения в экономике – Джон Нэш, Леонид Канторович, Василий Леонтьев.

Вместо Нобелевки у математиков существует «утешительный «приз» – Филдсовская премия, которую вручают раз в четыре года лицам, которым не исполнилось 40. Уайлсу следовало поторопиться – в итоге он был награждён Абелевской премией, которая появилась позже, уже в XXI веке.

Индийский математик К. Сингх подробно рассказывает о том, как работал Уайлс (книга Сингха переведена на русский, её легко найти в интернете).

Есть легенда о том, что Уайлсу 1 апреля прислали письмо-розыгрыш о том, что его усилия напрасны, что найден контпример, опровергающий Великую теорему, да такой, что без суперкомпьютера не проверишь. Но математик был так погружен в работу, что открыл электронную почту лишь 3 апреля и впал в отчаяние, не сразу обратив внимание на дату письма.

После нескольких лет работы Уайлс представил полное доказательство. Его внимательно прочёл и одобрил тот самый Горо Шимура, имя которого получила обобщённая гипотеза. Уайлсу была присуждена Абелевская премия, да и то с запозданием в 2016 году.

В нулевых годах доказательство теоремы Ферма долго звучало сенсацией – не только в университетских стенах, но и в новостях, в прессе. Челябинские алгебраисты, распечатав статьи Уайлса, организовали семинар по разбору доказательства Великой теоремы. Первое заседание собрало полную аудиторию, на третье пришло лишь несколько слушателей, проводились ли последующие заседания – неизвестно.

Так и остаётся великое доказательство великой теоремы таинственным, и для того чтобы раскрыть эту тайну, понять его нужно учиться и учиться. Что не мешает современным чудакам-ферматистам как прежде дон-кихотски придумывать простые «доказательства», умещающиеся на листочке, на 10 минут.

Остап Давыдов