Производная - один из центральных инструментов математического анализа. Она используется в физике, экономике, технике и других областях. В заданиях ЕГЭ по профильной математике производная встречается регулярно и лежит в основе анализа функций, исследования графиков и решения прикладных задач. В этом разделе приведены основные теоретические сведения о производной, её свойства и формулы.
1. Теоретические сведения о производной
1.1. Интуитивное понимание
Если график функции поднимается вверх, производная положительна; если убывает — отрицательна. Если график становится горизонтальным, производная равна нулю.
1.2. Формальное определение
Производной функции f(x) в точке x₀ называют предел:
Это величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции. Геометрически производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции.
2. Основные свойства производной
2.1. Знак производной
2.2. Линейность
2.3. Производная произведения
2.4. Производная частного
2.5. Производная сложной функции
3. Формулы для вычисления производных
3.3. Примеры
4. Производная и графики функций
4.1. Связь графика функции и знака производной
На участках возрастания производная положительна, на убывающих — отрицательна, в экстремумах равна нулю.
4.2. По графику производной
5. Необходимые знания для ЕГЭ
• Формулы производных и правила дифференцирования.
• Связь производной с возрастанием и убыванием функции.
• Анализ графиков функции и её производной.
• Геометрический смысл производной.
• Умение быстро вычислять производные простых функций.