Закон Ома для трёхфазных цепей: теоретический фундамент и практические расчёты

Закон Ома для трёхфазных цепей: теоретический фундамент и практические расчёты

1. Введение

Трёхфазные электрические системы составляют основу современной энергетики — от генерации до распределения электроэнергии. Понимание работы таких систем требует глубокого знания закона Ома в его специфическом применении к трёхфазным цепям.

В отличие от однофазных цепей, здесь необходимо учитывать:

• фазные и линейные величины;
• схемы соединения («звезда» и «треугольник»);
• симметричность/несимметричность нагрузки;
• фазовые сдвиги между напряжениями и токами.

Цель статьи — систематизировать теоретические основы и продемонстрировать практические методы расчёта трёхфазных цепей с применением закона Ома.

2. Основные понятия и определения

2.1. Фазные и линейные величины

• Фазное напряжение (Uф​): напряжение между началом и концом фазы источника или приёмника.
• Линейное напряжение (UЛ​): напряжение между двумя линейными проводами.
• Фазный ток (Iф​): ток в каждой фазе источника или приёмника.
• Линейный ток (IЛ​): ток в линейных проводах.

2.2. Схемы соединения

1. «Звезда» (Y): концы фаз соединяются в общую точку (нейтраль).
2. «Треугольник» (Δ): конец каждой фазы соединяется с началом следующей.

2.3. Симметрия системы

• Симметричная нагрузка: ZA​=ZB​=ZC​.
• Несимметричная нагрузка: сопротивления фаз различны.

3. Закон Ома в трёхфазных цепях

3.1. Общая формулировка

Для каждой фазы закон Ома записывается в виде:

Iф​=Zф​Uф​​​

где Zф​ — полное сопротивление фазы (Ом), учитывающее активную (R), индуктивную (XL​) и ёмкостную (XC​) составляющие:

Zф​=R2+(XL​−XC​)2​.

Важно: закон Ома применяется только к одному участку цепи и только к фазным величинам.

3.2. Особенности для разных схем соединения

А. Соединение «звезда» (Y)

• IЛ​=Iф​ (линейный ток равен фазному);
• UЛ​=3​⋅Uф​ (линейное напряжение в 3​ раз больше фазного).

Закон Ома для фазы:

Iф​=Zф​Uф​​=Zф​UЛ​/3​​.

Б. Соединение «треугольник» (Δ)

• UЛ​=Uф​ (линейное напряжение равно фазному);
• IЛ​=3​⋅Iф​ (линейный ток в 3​ раз больше фазного).

Закон Ома для фазы:

Iф​=Zф​Uф​​=Zф​UЛ​​.

Линейный ток:

IЛ​=3​⋅Zф​UЛ​​.

4. Расчёт симметричных трёхфазных цепей

4.1. Пример 1: соединение «звезда», активная нагрузка

Условие:

• Линейное напряжение UЛ​=380 В;
• Активное сопротивление каждой фазы R=20 Ом;
• Соединение «звезда».

Решение:

1. Фазное напряжение:Uф​=3​UЛ​​=1,732380​≈220 В.
2. Фазный (и линейный) ток:Iф​=IЛ​=RUф​​=20220​=11 А.
3. Полная мощность цепи:P=3⋅Uф​⋅Iф​=3⋅220⋅11=7260 Вт.

Ответ: IЛ​=11 А, P=7,26 кВт.

4.2. Пример 2: соединение «треугольник», активно-индуктивная нагрузка

Условие:

• Линейное напряжение UЛ​=220 В;
• Сопротивление фазы: R=8 Ом, XL​=6 Ом;
• Соединение «треугольник».

Решение:

1. Полное сопротивление фазы:Zф​=R2+XL2​​=82+62​=100​=10 Ом.
2. Фазное напряжение (равно линейному):Uф​=UЛ​=220 В.
3. Фазный ток:Iф​=Zф​Uф​​=10220​=22 А.
4. Линейный ток:IЛ​=3​⋅Iф​=1,732⋅22≈38,1 А.
5. Коэффициент мощности:cosφ=Zф​R​=108​=0,8.
6. Активная мощность:P=3​⋅UЛ​⋅IЛ​⋅cosφ=1,732⋅220⋅38,1⋅0,8≈11600 Вт.

Ответ: Iф​=22 А, IЛ​≈38,1 А, P≈11,6 кВт.

5. Расчёт несимметричных трёхфазных цепей

При несимметрии расчёт ведётся для каждой фазы отдельно с учётом схемы соединения.

5.1. Соединение «звезда» с нейтральным проводом

Условие:

• UЛ​=380 В;
• Нагрузки: ZA​=15 Ом, ZB​=20 Ом, ZC​=25 Ом (активные);
• Соединение «звезда» с нейтралью.

Решение:

1. Фазное напряжение:Uф​=3​380​≈220 В.
2. \begin{aligned} I_A &= \frac{U_{\text{ф}}}{Z_A}Токи в фазах: