....................................................."Даром дадено, даром давайте", - Исус Христос.
Версия 2026.05.06, исправленная и дополненная.
В справочнике Дьяконова [1] приведено небольшое описание и программа 5.25 полиномиальной регрессии (понижения степени аппроксимирующего (приближающего) полинома) методом наименьших квадратов [3] на Basic'е для карманного компьютера CASIO FX-702P, доступного не многим. Автор этой статьи сделал перевод этой программы на Borland Turbo Basic, доступный для многих пользователей MS-DOS, Windows и Android.
В отличие от интерполяции не сглаживающими сплайнами [5][6][7][8], при которой интерполирующий мультиполином (многоряд) точно проходит через узлы входных данных, полиномиальная регрессия является сглаживанием методом наименьших квадратов и аппроксимирующий полином (ряд) не обязательно проходит через узлы входных данных, но сглаживание хуже, чем сглаживание по трём и большему нечётному количеству точек. Полиноминальная регрессия более пригодна для выявления тренда, чем для аппроксимации или сглаживания.
Набор входных значений x, y(x) аппроксимируется (приближается) полиномом (многочленом) степени m в виде:
таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений аппроксимирующего полинома от входных значений x, y(x) [3].
Для этого составляется система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
где
Решением её методом Гаусса [4] находятся коэффициенты a_0, a_1, a_2, a_3, ..., a_m.
Интерполяция производится по выше приведённой формуле аппроксимирующего полинома.
Рис.1. Снимок с экрана результата прогона программы 5-25.BAS с контрольным примером "парабола" (y=x^2) в компиляторе Borland Turbo Basic.
Программа 5-25.BAS на Borland Turbo Basic'е
Степень полинома (максимум 14), число отсчётов и значения x_i и y_i(x_i) вводятся прямо в текст программы в операторах DATA. Диапазон и шаг интерполяции тоже вводятся прямо в текст программы в операторе цикла с переменной z.
Программа с графическим выводом 5-25G.BAS на Borland Turbo Basic'е
Рис.2. Снимок с экрана результата прогона в компиляторе Borland Turbo Basic графической версии программы (5-25G.BAS) с регрессией полиномом 14-й степени прогноза погоды на 25 дней в феврале 2026 г.
Следует отметить, что во многих случаях, например, при интерполяции изотермы адсорбции-десорбции, интерполяция кубическим сплайном даёт лучшие результаты, чем аппроксимация полиномиальной регрессией методом наименьших квадратов отклонений.
Литература:
1. Д ь я к о н о в В. П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ: Справочник. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 240 с. — ISBN 5-02-014530-0. Файл: Dyakonov_Spravochnik.djvu
2. Полиномиальная регрессия. Wikipedia.
3. Метод наименьших квадратов. Википедия.
4. Решение СЛАУ методом Гаусса, программа. Куликов А. С. Дзен.
Приложения:
1. Программа: 5-25.BAS
2. Программа: 5-25G.BAS
3. Архив с Borland Turbo Basic: TB.rar
4. Руководство по Borland Turbo Basic: TBASIC.TXT