Рассмотрим решение стереометрической задачи, которая на канале Валерия Казакова решена с использованием теорем Пифагора – прямой и обратной, а без них вполне можно обойтись, сделав дополнительные построения. Задача дана под заголовком «Задача "только для взрослых"! Стерео!». Итак, задача.
1. В конструкции «пьедестал почёта» из четырёх равных кубиков отметили три вершины кубиков: A, B и C (см. рис.). Найдите величину угла ABC.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Задача "только для взрослых"! Стерео! | Наглядная Геометрия | Дзен
Валерий Казаков показал, как эту задачу можно решить, применяя теорему Пифагора и обратную ей. Получилось коротко и ясно. Но задачу можно решить вообще без вычислений, если сделать чуть более сложное дополнительное построение.
Решение. Добавим к нашему «пьедесталу почёта» ещё 8 кубиков и отметим точку D в вершине одного из них, как показано на рисунке.
Отрезки AB и BD равны – это диагонали равных параллелепипедов из двух кубиков.
Отрезки AC и CD равны – это диагонали равных параллелепипедов из трёх кубиков.
Мы получили равнобедренный треугольник ACD (AC = CD) с медианой CB, проведённой к её основанию. Она является высотой, следовательно, величина угла ABC равна 90 градусов.
Ответ. 90 градусов.
В смысле использования теорем и вычислений это решение проще, так как используются теоремы, известные до теоремы Пифагора и ей обратной. Правда, приходится выполнять более сложное построение пространственной конструкции на клетчатой бумаге, но науке не известны случаи, чтобы это повредило учащимся старших классов. Кроме того, задача-то для взрослых! Наше решение не противоречит названию канала «Наглядная геометрия», оно довольно наглядное.