Математическая модель парашютной посадки беспилотного летательного аппарата

В данной статье представлен обзор поэтапной разработки и верификации модели парашютной посадки беспилотного летательного аппарата (БЛА) самолётной схемы в ПО REPEAT, с использованием блока ОДУ.

Описание процесса парашютной посадки БЛА

Моделирование процесса парашютной посадки БЛА позволяет определить точку его приземления, что сократит время его поиска для повторного применения.

В типовую моделируемую системы парашютной посадки (СПП) БЛА входят следующие элементы:

• вытяжной парашют (ВП);
• основной парашют (ОП);
• метательный (пиротехнический) заряд (МЗ);
• контейнер для размещения ВП и ОП.

Процесс парашютной посадки БЛА разбивается на следующие основные этапы:

Моделирование парашютной посадки БЛА выполняется при следующих допущениях:
1. Не учитываются массы заряда и контейнера;
2. Применяемые в СПП парашюты являются безынерционными объектами;
3. Все действующие в процессе посадки БЛА силы приведены к его центру масс (ЦМ);
4. Движение БЛА в процессе посадки рассматривается как движение его ЦМ в вертикальной плоскости;
5. Сила лобового сопротивления БЛА нулевая.

Математическая модель процесса парашютной посадки БЛА

Общие уравнения движения ЦМ БЛА в процессе посадки имеют вид:

(1)

где:

X - сила лобового сопротивления БЛА;

X_п=Φ_вп⋅(ρ⋅V1^2)/(2⋅m) - сила лобового сопротивления парашюта;

G - сила тяжести БЛА: G=m⋅g

V - скорость посадки БЛА;

m - масса БЛА;

θ - угол посадки БЛА;

x - координата БЛА по Х координате;

y - координата БЛА по Y координате.

Так как отсутствуют данные по коэффициенту лобового сопротивления БЛА, X = 0.

Начальные условия для этой системы дифференциальных уравнений записываются следующим образом:

(2)

Достаточно подробный анализ модели приведен в монографии [2].

При моделировании посадки БЛА рассматриваются следующие основные этапы:

Вследствие этого общую систему сведем к трем системам дифференциальных уравнений с взаимосвязанными начальными условиями, каждая из которых описывает соответствующий этап посадки БЛА.

Модель процесса посадки БЛА на этапе 1 имеет вид:

(3)

Этап 2 посадки БЛА начинается при раскрытии основного парашюта и описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

(4)

Этап 3 предлагается описывать моделью вида:

(5)

Исходные данные

Пусть БЛА, взлетевший с МПУ после выполнения полетного задания, осуществляет парашютную посадку в стартовой СК:

Рисунок 1 - Схема парашютной посадки после полетного задания

Считается, что посадка БЛА происходит при нормальных атмосферных условиях (р0 = 760 мм.рт.ст., τ0 = +15 C) и отсутствии ветра.

Исходные данные:

• Беспилотный летательный аппарат:

• Вытяжной парашют (ВП):

• Основной парашют (ОП):

• Укладка ОП:

• Остальные параметры посадки:

Начальные условия ОДУ (1 этап):

(6)

Разработка модели процесса посадки БЛА в REPEAT

Блок ОДУ предназначен для численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), выраженных в форме Коши (относительно старшей производной): y″=f(t,y,y′). При помощи этого блока можно описать комплексную динамическую систему.

Весь процесс настройки блока ОДУ состоит из 5 ключевых шагов:

Перед написанием системы ОДУ необходимо в блоке добавить:

• параметры входных и выходных портов;
• параметры, участвующие в процессе расчёта ОДУ;
• параметры интегрирования.

Параметры входного порта:

1. timer – для снятия значения времени моделирования, участвует в формуле опΦоп(t,V).

Параметры выходных портов:

1. velocity_sensor – для снятия значения параметра скорости посадки БЛА;
2. theta_sensor – для снятия значения параметра угла БЛА, [рад];
3. x_sensor – для снятия значения координаты x, [м];
4. y_sensor – для снятия значения координаты y, [м];
5. L_OP_sensor – для снятия значения длины вытянутой части ОП, [м].

Рисунок 2 - Требуемые параметры портов блока ОДУ

Параметры :

m (double) – масса БЛА;

c_VP (double) – коэффициент сопротивления вытяжного парашюта;

f_VP (double) – площадь купола вытяжного парашюта;

ro (double) – плотность воздуха;

mu (double) – удельный вес укладки из парашютного шелка;

k (double) – эмпирический коэффициент при вычислении Φ_оп(t,V);

n (double) – эмпирический коэффициент при вычислении Φ_оп(t,V);

g (double) – ускорение свободного падения;

phi_VP (double) – эффективное сопротивление ВП;

phi_OP (double) – эффективное сопротивление ОП;

u (double) – множитель при расчете Φ_оп;

gndHit (int) – переменная-сигнал при приземлении БЛА;

c_OP (double) – коэффициент сопротивления основного парашюта;

f_OP (double) – площадь купола основного парашюта;

D_OP (double) – номинальный диаметр ОП;

d_OP (double) – средний диаметр укладки ОП.

Рисунок 3 - Требуемые параметры блока ОДУ

Параметры интегрирования:

velocity – основной параметр для интегрирования производной ускорения посадки БЛА V˙, необходимый для вычисления скорости V;

theta – параметр для интегрирования производной угла θ˙;

x – параметр для интегрирования производной координаты x˙;

y – параметр для интегрирования производной координаты y˙;

l_OP – параметр для интегрирования производной ускорения раскрытия основного парашюта;

L_OP – параметр для интегрирования производной скорости раскрытия основного парашюта для определения ее длины опLоп.

Рисунок 4 - Параметры интегрирования блока ОДУ

После добавления параметров, в редакторе кода переходим в блок Инициализация, где созданным постоянным параметрам присваиваем значения и формируем начальные условия системы ОДУ, т.е. задаем начальные значения интегрируемых параметров. Далее описываем все три этапа в основной части кода ОДУ.

Код в редакторе блока ОДУ:

Осталось модифицировать сам проект, добавив блоки:

• Время моделирования (в разделе Симуляция), который подключается ко входному порту блока ОДУ и передает значения времени расчета модели;
• Единицы измерения угла (в библиотеке Автоматика, подраздел Функции) для перевода значения угла посадки БЛА из радиан в градусы:

Рисунок 5 - Проект с математической моделью посадки БЛА

Время моделирования проекта выберем равным 200 [с], шаг интегрирования и дискретизации 1 [мс]:

Рисунок 6 - Параметры расчета проекта

Результаты моделирования, верификация расчетов

Таблица 1 – Сравнительный анализ параметров при спуске БЛА

Таблица 1. Этап 1

Таблица 1. Этап 2

Таблица 1. Этап 3

Таблица 2 – Сравнительный анализ конечных параметров при приземлении БЛА

Таблица 2

Результаты моделирования в REPEAT показали высокую точность расчета математической модели посадки БЛА при помощи блока ОДУ, максимальная абсолютная погрешность составила 0.14 [м] (0.28 % в отн. погр.) при расчете высоты БЛА Y.

Список литературы

1. Моисеев В.С. Динамика полета и управление беспилотными летательными аппаратами: монография. – Казань: Редакционно-издательский центр «Школа», 2017. 416 с.

2. Моисеев В.С. Прикладная теория управления беспилотными летательными аппаратами: монография. Казань: Республиканский центр мониторинга качества образования (РЦ МКО), 2013. 768 с.

3. Разработка математической модели парашютной посадки беспилотного летательного аппарата - URL: https://app.repeatlab.ru/docs/ru/howto/aircraft/development_of_mathematical_model_for_UAV_parachute_landing/index.html#id2