Английское слово "syringe" ("шприц") через французский и латынь идёт из греческого σῦρῐγξ [syrĭnx] ("свирель, трубочка").
А само слово Сиринга (или Сиринкс) было именем (кстати, догреческим) одной нимфы.
Эта нимфа служила Артемиде и блюла своё целомудрие, но однажды её заметил бог Пан и начал преследовать. Тогда Сиринга бросилась в реку и попросила наяд помочь ей. Те превратили её в тростник, который издавал жалобные звуки, когда в него дул ветер.
Пан сделал из этого тростника свирель (по-гречески она называется "сиринга") и стал на ней играть.
Кстати, по-английски "свирель" так и называется -panpipes", то есть "трубочки Пана".
Ну а шприц назвали сирингой потому, что это тоже трубочка. Хотя она сама и молчаливая, жалобные звуки издаёт тот, к кому её применяют.