Рассмотрим решение простой геометрической задачи, которая на канале Валерия Казакова решена сложнее, чем надо, с лишними вычислениями. Задача дана под заголовком «Завал в 8"А"! Задачка на испуг!». Итак, задача.
1. В квадрате ABCD проведены отрезок BK, соединяющий вершину квадрата с точкой K на стороне AD, и два перпендикуляра к нему – AN и CM длиной 6 и 9 соответственно. Найдите площадь четырёхугольника MCDK.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Завал в 8"А"! Задачка на испуг! | Наглядная геометрия | Дзен
Но задачу можно решить с более простыми вычислениями без выражения длин отрезков в радикалах.
Решение. Сначала найдём катеты и площади прямоугольных треугольников ABN и BCM. Два треугольника равны по гипотенузе и острому углу, их катеты равны 9 и 6, площади равны 27. Треугольник ANK подобен первым двум, его катеты 6 и 4, а площадь равна 12.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны, который найдём по теореме Пифагора, площадь квадрата равна 117.
Из площади квадрата вычтем площади трёх треугольников, получим площадь четырёхугольника MCDK: 117 – 27 – 27 – 12 = 51.
Ответ. 51.
Задача имеет решение и без применения теоремы Пифагора.
Через вершины C и D квадрата проведём прямые, параллельные двум перпендикулярным прямым BK и MC. Обозначим точку их пересечения E, а точку пересечения прямых BK и DE — F. Угол MCE прямой.
Углы ABK и DCE, BCM и KDF попарно равны, как углы с сонаправленными сторонами. Углы BCM и DCE равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому все четыре угла равны между собой. Мы получили три равных треугольника BAN, CBM и CDE (по гипотенузе и острому углу), поэтому CE = EF = MF = MC = 9, BM = DE = 6, DF = 9 – 6 = 3.
Параллелограмм MCEF — квадрат. Его площадь равна 81.
Площадь треугольника CDE равна 6 ∙ 9 : 2 = 27, а площадь подобного ему по двум углам с коэффициентом 1/3 треугольника KDF — в 9 меньше, она равна 3.
Искомая площадь равна 81 – 27 – 3 = 51.