{"draftJsState":{"blocks":[{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"unstyled","key":"7jlv7"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":37,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Задания на отрезки на числовой прямой","type":"header-two","key":"4i6n1"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":30,"offset":41,"style":"ITALIC"}],"text":"Впервые данного типа задание появилось в демонстрационном варианте 2013","type":"unstyled","key":"90ftt"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":37,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":51,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":114,"style":"ITALIC"}],"text":"На числовой прямой даны два отрезка: P = [2; 10] и Q = [6; 14]. Укажите наименьшую возможную длину такого\nотрезка A, для которого логическое выражение","type":"unstyled","key":"1eh74"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"((x∈A) → (x∈P)) ∨ (x∈Q)","type":"unstyled","key":"e7hm4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":2,"offset":66,"style":"ITALIC"}],"text":"истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.","type":"unstyled","key":"acvpe"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"1) [0, 3] 2) [3, 11] 3) [11, 15] 4) [15, 17]","type":"unstyled","key":"ec6n7"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Также, как и в предыдущей задаче сделаем замену для удобства: x ∈ A = A, x ∈ P = P, x ∈ Q = Q и перепишем данное логическое выражение:","type":"unstyled","key":"45qsc"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"(A→P)∨Q","type":"unstyled","key":"4ap1t"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"После чего упростим, используя формулу раскрытия импликации и законы де Моргана:","type":"unstyled","key":"c29ja"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"(A → P) ∨ Q = ¬A ∨ P ∨ Q","type":"unstyled","key":"922pi"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":26,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":28,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":30,"style":"ITALIC"}],"text":"Так как Amin = ¬B, a B=P∨QB=P∨Q, тогда ¬B = ¬P ∧ ¬Q","type":"unstyled","key":"ddnqf"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Нарисуем область истинности на числовом луче:","type":"unstyled","key":"80nin"},{"data":{"image":{"id":"693e885c03b8054316cadcce"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"9o8gi"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":68,"style":"ITALIC"}],"text":"Получим интервал (−∞;2)∪(14;+∞). Таким образом, нужный нам интервал A, при котором наше исходное выражение при котором исходное выражение будет всегда истина - это [2, 14]. Тогда из приведенных вариантов ответом нам подходит только второй [3,11].","type":"unstyled","key":"f7pel"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":67,"offset":0,"style":"ITALIC"}],"text":"Рассмотрим еще одну задачу из демонстрационного варианта 2025 года.","type":"unstyled","key":"c1g83"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":39,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":54,"style":"ITALIC"}],"text":"На числовой прямой даны два отрезка: P = [15; 40] и Q = [21; 63]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула","type":"unstyled","key":"701df"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"(x ∈ P) → (((x ∈ Q)∧¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ P))","type":"unstyled","key":"aucvd"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"истинна при любом значении переменной х, т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной х.","type":"unstyled","key":"eu088"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":7,"offset":0,"style":"ITALIC"}],"text":"Решение. Сделаем замены и выполним преобразования логического выражения:","type":"unstyled","key":"5tcrb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"P → (( Q∧¬A) → ¬ P)=¬ P∨(( Q∧¬A) → ¬ P)=¬ P∨(¬( Q∧¬A)∧¬ P)=¬ P∨¬Q∨A","type":"unstyled","key":"1f4i5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":4,"offset":15,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":22,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":35,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":39,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":42,"style":"ITALIC"}],"text":"Так как Amin=¬BAmin=¬B, a B=¬ P∨¬QB=¬ P∨¬Q, тогда ¬B=P∧Q.","type":"unstyled","key":"d7a93"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Нарисуем область истинности на числовом луче:","type":"unstyled","key":"61ddu"},{"data":{"image":{"id":"693e888c30dc332c48cd9b30"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"8gm7n"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":41,"style":"ITALIC"}],"text":"Таким образом: минимальная длина отрезка A [40,60] равна 40−21=19.","type":"unstyled","key":"9gijs"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Задания на делимость","type":"header-two","key":"3udj2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В первые данный прототип задания на алгебру логики появился в 2015 году на досрочном экзамене.","type":"unstyled","key":"1lj3n"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Рассмотрим для начала аналитическое решение данной задачи.","type":"unstyled","key":"4ai48"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":26,"offset":0,"style":"ITALIC"},{"length":4,"offset":48,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":85,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":128,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":174,"style":"ITALIC"},{"length":9,"offset":44,"style":"BOLD"}],"text":"Открытый банк заданий ФИПИ. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А логическое выражение","type":"unstyled","key":"e8pea"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"¬ДЕЛ(x,A) → (ДЕЛ(x,36) → ¬ДЕЛ(x,54))","type":"unstyled","key":"dgtnv"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":100,"style":"ITALIC"}],"text":"тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?","type":"unstyled","key":"9m43r"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Для того, чтобы было легче выполнять преобразования, сделаем замены:","type":"unstyled","key":"5b0g3"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"ДЕЛ(x,A)=A;","type":"unordered-list-item","key":"ejvsi"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"ДЕЛ(x,36)=D36;","type":"unordered-list-item","key":"a53eg"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"ДЕЛ(x,54)=D54.","type":"unordered-list-item","key":"5e8ii"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Перепишем выражение из условия задачи, выполнив замену, и для замены импликации будем использовать формулу:","type":"unstyled","key":"fvsee"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"X → Y = ¬X ∨ Y","type":"unstyled","key":"d0717"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Таким образом, наше выражение примет вид:","type":"unstyled","key":"b1ifb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"¬A → (D36 → ¬D54) = ¬¬A ∨ (D36 → ¬D54) = A ∨ ¬D36 ∨ ¬¬D54 = A ∨ ¬D36 ∨D54","type":"unstyled","key":"ca3d5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":104,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":106,"style":"ITALIC"}],"text":"В учебнике К.Ю. Полякова предложено построить логическое выражение A такое, что логическое выражение A+BA+B истинно для всех элементов универсального множества.","type":"unstyled","key":"bh5di"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Задача сводится к равенству A ∨ B = 1, а так как в алгебре логики нет операции вычитания, то A = ¬B","type":"unstyled","key":"699rb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":68,"style":"ITALIC"}],"text":"Таким образом, вернемся к нашей задаче. В данном случае множеством BB будет являться ¬D36∨D54, тогда","type":"unstyled","key":"1o699"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"¬B = ¬(¬D36 ∨ D54)=D36 ∧ ¬D54","type":"unstyled","key":"cehjr"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Таким образом, x одновременно должен делиться на 36 и не делиться на 54:","type":"unstyled","key":"1ia7d"},{"data":{"image":{"id":"693e88bbba368d29c3966b04"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"8clls"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Мы видим, что это число 108.","type":"unstyled","key":"2qjlh"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Рассмотрим еще один вариант задач - их обычно называют \"смешанными\", где формула содержит как утверждение делимости, так и уравнение прямой в координатной плоскости.","type":"unstyled","key":"bka99"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":17,"offset":0,"style":"BOLD"},{"length":17,"offset":0,"style":"ITALIC"},{"length":9,"offset":35,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":76,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":119,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":162,"style":"ITALIC"}],"text":"Апробация 01.2023. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m»; и пусть на числовой прямой дан отрезок В = [50; 70].","type":"unstyled","key":"e2o5k"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":42,"style":"ITALIC"}],"text":"Для какого наибольшего натурального числа А формула","type":"unstyled","key":"d825b"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"ДЕЛ(x,А)∨(ДЕЛ(x,23)→¬(x∈В))","type":"unstyled","key":"1r0pj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":91,"style":"ITALIC"}],"text":"тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?","type":"unstyled","key":"ces17"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Решим задачу аналитически, для этого выполним замены и преобразования, аналогично предыдущим шагам:","type":"unstyled","key":"9cmtl"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"ДЕЛ(x,A)∨(ДЕЛ(x,23)→¬(x∈В))=A∨(D23→¬B)=A∨¬D23∨¬B ","type":"unstyled","key":"8747f"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Чтобы наше выражение было истинным, тогда ¬D23∨¬B=0, (опираясь на материал учебника К.Ю. Полякова):","type":"unstyled","key":"5drjh"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"¬(¬D23 ∨ ¬B) = D23 ∧ B.","type":"unstyled","key":"ceqh8"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Таким образом, число должно делиться на 23, а также принадлежать отрезку [50;70] - это число 69:","type":"unstyled","key":"6d1qa"},{"data":{"image":{"id":"693e88f278370d4332065380"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"1akh1"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Задания с координатной плоскостью","type":"header-two","key":"5kpo5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"unstyled","key":"bukia"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":35,"offset":23,"style":"ITALIC"}],"text":"Рассмотрим задачу № 18 демонстрационного варианта 2019 ЕГЭ по информатике.","type":"unstyled","key":"764vg"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":2,"offset":53,"style":"ITALIC"}],"text":"Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение\n(48 ≠ y +2x)∨(A < x)∨(A < y)","type":"unstyled","key":"994tl"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?","type":"unstyled","key":"92iul"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Для того, чтобы решить данную задачу, необходимо уметь строить графики функций, чаще всего - это уравнение прямой:","type":"unstyled","key":"e9olo"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"y=kx+b","type":"unstyled","key":"aq5qb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Так как в задаче между условиями стоит логическая операция ИЛИ, то достаточно, чтобы было истина хотя бы одно из условий:","type":"unstyled","key":"ae9p9"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"48 ≠ y +2x,","type":"unstyled","key":"avkcj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"y ≠−2x+4848 ","type":"unstyled","key":"b9jjo"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"A < x,","type":"unstyled","key":"b62e5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"A < y.","type":"unstyled","key":"1e40c"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Для начала изобразим на координатной плоскости выражения, в которых нет параметра - это y ≠−2x+48:","type":"unstyled","key":"e24oj"},{"data":{"image":{"id":"693e892b7e27d113805a895b"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"f0f4g"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":85,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":89,"style":"ITALIC"}],"text":"Чтобы исходное выражение было тождественно истинно для любых целых и неотрицательных x и y, все три прямые, указанные в условии задачи должны пересекаться в одной точке, для этого необходимо составить и решить систему уравнений","type":"unstyled","key":"6rjj8"},{"data":{"image":{"id":"693e89797e27d113805af294"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"16jnd"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Подставим значения x = A,y = A в уравнение y=−2x+48:","type":"unstyled","key":"c5lhr"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"A=−2A+48, ","type":"unstyled","key":"bm3g3"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"A+2A=48, ","type":"unstyled","key":"df1mv"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"3A=48,","type":"unstyled","key":"edoob"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"A=48/3=16. ","type":"unstyled","key":"1cpbn"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Так как у нас строгие неравенства, то необходимо взять значения A на единицу меньше. Тогда A=15. Таким образом, наши прямые будут пересекаться в точке с координатами (15, 15).","type":"unstyled","key":"7jcr8"},{"data":{"image":{"id":"693e892b7e27d113805a895c"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"bos7i"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В ответе напишем число 15.","type":"unstyled","key":"f00re"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":51,"offset":0,"style":"ITALIC"},{"length":51,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Демонстрационный вариант ЕГЭ по информатике 2020 г.","type":"unstyled","key":"8fo78"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":53,"style":"ITALIC"}],"text":"Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение","type":"unstyled","key":"9jmpa"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"(x +2y < A)∨(y > x)∨(x >30)","type":"unstyled","key":"5ie3v"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":80,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":84,"style":"ITALIC"}],"text":"тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?","type":"unstyled","key":"7qpa1"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Тут также достаточно, чтобы было истинно хотя бы одно из трех условий:","type":"unstyled","key":"a8n85"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"x +2y < A,,","type":"unstyled","key":"fht79"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"y > x,","type":"unstyled","key":"bkpuj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"x >30.","type":"unstyled","key":"fhtn"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Далее также изобразим на координатной плоскости области для выражений, не имеющий параметра A:","type":"unstyled","key":"ei14e"},{"data":{"image":{"id":"693e8b31a6b393330632ebcd"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"amhae"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":58,"style":"ITALIC"}],"text":"Закрашенные области соответствуют истине и без параметра AA. Для того, чтобы полное выражение принимало значение истины, необходимо, чтобы вся координатная плоскость была перекрыта.","type":"unstyled","key":"72r2l"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"2y < -x + A,","type":"unstyled","key":"peoi"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"y < -x/2+A/2","type":"unstyled","key":"aep0"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Построим вспомогательную область y < -x/2","type":"unstyled","key":"o37g"},{"data":{"image":{"id":"693e8b314232b248cea5b01d"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"ecabo"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Нам необходимо \"закрасить\" оставшуюся область на координатной плоскости. Поэтому необходимо \"поднять\" область y < -x/2 до точки пересечения первых двух областей, которая имеет координаты (30,30).","type":"unstyled","key":"eqbch"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Подставим данную точку в уравнение прямой y < -x/2 + A/2.","type":"unstyled","key":"fio6o"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"30 < -30/2+A/2,","type":"unstyled","key":"71ji6"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"30 < -15 + A/2,","type":"unstyled","key":"cr5vk"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"60 < −30+A,","type":"unstyled","key":"bgmlb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"90 < A.","type":"unstyled","key":"ea4nv"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"A>90.","type":"unstyled","key":"52o1v"},{"data":{"image":{"id":"693e8b3170141250d4044d32"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"buj5e"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Так как неравенства строгие, то берем значение на единицу больше - это 91.","type":"unstyled","key":"47j2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":21,"offset":0,"style":"BOLD"},{"length":19,"offset":0,"style":"ITALIC"},{"length":2,"offset":74,"style":"ITALIC"}],"text":"Основная волна 2021. Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение\n(2x+y≠70)∨(x < y)∨(A < x)","type":"unstyled","key":"1jtfc"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":80,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":84,"style":"ITALIC"}],"text":"тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?","type":"unstyled","key":"dkejs"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Изобразим на координатной плоскости выражения, в которых нет параметра - это y ≠ −2x + 70 и y > x","type":"unstyled","key":"42tgn"},{"data":{"image":{"id":"693e8be790b2c05fca6d638b"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"ecqnl"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Также аналитический найдем точку пересечения двух прямых:","type":"unstyled","key":"320t6"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"{y=−2x+70,","type":"unstyled","key":"beqoi"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":1,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":3,"style":"ITALIC"}],"text":"{y=x.","type":"unstyled","key":"8cs4e"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Подставим значение y=x в первое уравнение:","type":"unstyled","key":"9ki7a"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"3x = 70, x = 23,(3)","type":"unstyled","key":"fv9qu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Подставим значения x=23,(3) в x > A:","type":"unstyled","key":"c5oa3"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"A<23,(3) ","type":"unstyled","key":"8r5p6"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"A=23.","type":"unstyled","key":"cr10d"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В ответе напишем число 23.","type":"unstyled","key":"60skp"},{"data":{"image":{"id":"693e8be7ee46402b1b00aa57"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"9bu37"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"unstyled","key":"99gjm"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Рассмотрим \"смешанные\" задачи, где формула содержит как утверждение делимости, так и уравнение прямой в координатной плоскости.","type":"unstyled","key":"39fu1"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":21,"offset":42,"style":"BOLD"},{"length":21,"offset":42,"style":"ITALIC"}],"text":"Рассмотрим на примере задания из варианта основной волны 2022 I.","type":"unstyled","key":"f2c7b"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":9,"offset":16,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":57,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":100,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":146,"style":"ITALIC"}],"text":"Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число n». Для какого наименьшего натурального числа А формула","type":"unstyled","key":"68rvq"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"(ДЕЛ(х,2)→¬ДЕЛ(x,3))∨(x+A≥80)","type":"unstyled","key":"11q89"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":91,"style":"ITALIC"}],"text":"тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?","type":"unstyled","key":"fggeg"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Решим задачу аналитически. Для начала выполним замену и преобразования, аналогично предыдущим задачам:","type":"unstyled","key":"a4j56"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"(D2 → ¬D3) ∨ (x + A ≥ 80) = ¬D2 ∨ ¬D3 ∨ (x + A ≥ 80)","type":"unstyled","key":"8tup2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":2,"offset":25,"style":"ITALIC"}],"text":"Выбор натурального числа А должен обеспечить истинность формулы условия задачи, поэтому Amin=¬B, то B = ¬D2 ∨ ¬D3, тогда ¬B = ¬(¬D2 ∨ ¬D3) = D2 ∧ D3.","type":"unstyled","key":"dpp69"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":154,"style":"ITALIC"}],"text":"Таким образом, нам необходимо, чтобы число делилось на 2 и на 3 одновременно, очевидно, x=6. Подстивим данное значение в неравенство x + A ≥ 80, и найдем А:","type":"unstyled","key":"3ujhp"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"6 + A ≥ 80,","type":"unstyled","key":"baud"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"A ≥ 80 − 6,","type":"unstyled","key":"5ktuf"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"A ≥ 80 − 6, А ≥ 74.","type":"unstyled","key":"7f0ac"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Так как неравенство не строгое, то A=74.","type":"unstyled","key":"fmb3q"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Задания с поразрядной конъюнкцией","type":"header-two","key":"b7jmi"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":50,"offset":122,"style":"BOLD"},{"length":50,"offset":122,"style":"ITALIC"}],"text":"Перейдем к самому сложному типу задач - это поразрядная конъюнкция. Для начала рассмотрим аналитическое решение задачи из демонстрационного варианта ЕГЭ по информатике 2016.","type":"unstyled","key":"eueid"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":3,"offset":16,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":71,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":75,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":182,"style":"ITALIC"}],"text":"Обозначим через m&n поразрядную коньюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14 & 5 = 11102 & 01012 = 01002 = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула","type":"unstyled","key":"1gh82"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"(x&25 ≠ 0) → ((x&17=0) → (x&А ≠ 0))","type":"unstyled","key":"9mu2a"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"тождественно истинна (т.е. принимает неотрицательном целом значении переменной х)?","type":"unstyled","key":"3veq1"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Введем обозначения: ¬K25 = (x & 25 ≠ 0), K17 = (x & 17 = 0), ¬A = (x & A ≠ 0)","type":"unstyled","key":"smbj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"После перепишем выражение и выполним преобразования:","type":"unstyled","key":"rbl1"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"¬K25 → (K17 → ¬A) = ¬¬K25 ∨ (K17 → ¬A) = K25 ∨ ¬K17 ∨ ¬A","type":"unstyled","key":"63g0d"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Перейдем к импликации, используя законы де Моргана:","type":"unstyled","key":"65b3u"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"¬K17 ∨ ¬A ∨ K25 = (K17 ∧ A) → K25.","type":"unstyled","key":"594h4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Тут мы будем использовать следующее свойство:","type":"unstyled","key":"fl79m"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"K_N ∧ K_M=K_N or M","type":"unstyled","key":"276su"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":126,"style":"ITALIC"},{"length":2,"offset":185,"style":"ITALIC"}],"text":"Условие K_N→K_M истино для любых натуральных значений x тогда и только тогда, когда все единичные биты двоичной записи числа M входят в множество единичных битов двоичной записи числа N.","type":"unstyled","key":"b0bi7"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":15,"offset":0,"style":"ITALIC"}],"text":"Таким образом, K17 ∧ A = K17 ∧ K_M = K17 or M","type":"unstyled","key":"rkar"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Для того, чтобы выражение было истинно для всех x, нужно, чтобы двоичная запись числа 17 or A17 содержала все единичные биты числа 25, т.е. с помощью числа нужно добавить те единичные биты числа 25, которых нехватке в числе 17.","type":"unstyled","key":"b2c4v"},{"data":{"image":{"id":"693e8ce4bbf98f11343554d3"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"mve"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В данном случае мы имеем дело с поразрядной дизъюнкцией, например 14 & 5 = 11102 & 01012 = 11112 = 15.","type":"unstyled","key":"caavu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Сначала определим те разряды, где точно стоит единица. Например, это тот случай, когда из нуля при дизъюнкции (операции ИЛИ) получается единица:","type":"unstyled","key":"1b1c1"},{"data":{"image":{"id":"693e8ce45c89e2445f34008e"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"bn55l"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Затем проставим те разряды, где точно будет ноль. Такой случай возможен только тогда, когда из нуля получается ноль при применении дизъюнкции:","type":"unstyled","key":"9bdkf"},{"data":{"image":{"id":"693e8ce472286b0612199e21"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"f64pc"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Мы видим, что на первый и последний разряд может быть как ноль, так и единица, так как при применении дизъюнкции из единицы мы получаем единицу","type":"unstyled","key":"16n9t"},{"data":{"image":{"id":"693e8ce45e4e0849858142c8"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"78o4q"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":45,"style":"ITALIC"}],"text":"Таким образом, мы получим следующие значения x:","type":"unstyled","key":"876nc"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"10002","type":"unordered-list-item","key":"f8brj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"10012","type":"unordered-list-item","key":"39dfr"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"110012","type":"unordered-list-item","key":"2dr2m"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"110002","type":"unordered-list-item","key":"b2mt5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":47,"style":"ITALIC"}],"text":"Но так как нам необходимо минимальное значение x, то возьмем 10002 = 8.","type":"unstyled","key":"f5vbu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"unstyled","key":"7voio"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"marker","key":"dLtALjJLZm7kJWjmDqUB"}],"entityMap":{}},"mentions":[]}