В школьной математике 5 класса есть фигуры, с которыми мы сталкиваемся постоянно, даже если не всегда это осознаём.
Одна из таких фигур — прямоугольный параллелепипед.
Название звучит сложно, но на самом деле эта фигура каждый день встречается нам в повседневной жизни.
Прямоугольный параллелепипед — это объёмная фигура, которая по форме напоминает обычную коробку. Коробка из-под обуви, кирпич, пачка сока, ящик — всё это примеры прямоугольного параллелепипеда.
Свойства прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед — это пространственная геометрическая фигура. Рассмотрим подробнее её основные элементы:
Грани
Прямоугольный параллелепипед имеет шесть граней. Каждая грань представляет собой прямоугольник.
Грани образуют три пары попарно равных и параллельных прямоугольников:
- две грани с размерами a×c (где а - длина, с - высота)
- две грани с размерами a×b (где а - длина, b - ширина)
- две грани с размерами b×c (где b - ширина, с - высота)
Каждая пара противоположных граней расположена в параллельных плоскостях.
Рёбра
Рёбра — это отрезки, по которым соседние грани пересекаются. Прямоугольный параллелепипед имеет двенадцать рёбер.
Вершины
Вершины — это точки, в которых сходятся рёбра. Прямоугольный параллелепипед имеет восемь вершин.
В каждой вершине сходятся три рёбра и три грани, причём все углы при вершинах являются прямыми.
Что на самом деле означает объём прямоугольного параллелепипеда?
Объём показывает, сколько места находится внутри фигуры.
Представьте прозрачную коробку. Если начать заполнять её одинаковыми маленькими кубиками, то объём этой коробки — это количество таких кубиков, которые полностью помещаются внутрь. Размер 1 такого кубика 1х1х1.
Почему объём измеряется в кубических единицах?
Возьмём один маленький кубик. Если его длина, ширина и высота равны одному сантиметру, то такой кубик называется кубическим сантиметром.
Когда мы считаем объём прямоугольного параллелепипеда, мы фактически отвечаем на вопрос:
«Сколько таких одинаковых кубиков можно полностью уложить внутрь?»
Поэтому:
- сантиметры превращаются в кубические сантиметры,
- метры — в кубические метры.
В задачах часто бывает так: длина, ширина и высота дана в разных единицах измерения. Если подставить такие значения сразу, результат будет неверным. Это всё равно что пытаться заполнить коробку кубиками разного размера.
Поэтому перед вычислением объёма всегда:
- Выбирают одну единицу измерения;
- Переводят в неё длину, ширину и высоту;
- Только после этого считают объём.
Формула расчета объёма прямоугольного параллелепипеда
Формула объёма прямоугольного параллелепипеда достаточно проста:
V = a × b × c
Если смотреть на неё через визуализацию, то:
- a — сколько кубиков помещается по длине,
- b — по ширине,
- c — сколько слоёв по высоте.
Мы считаем не буквы, а ряды и слои кубиков.
Что такое площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда?
Если объём отвечает на вопрос «что внутри?», то площадь поверхности отвечает на вопрос «что снаружи?».
Если коробку нужно:
- обклеить бумагой,
- покрасить,
- упаковать,
нужно знать общую площадь всех её граней.
Из чего складывается площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда?
Как я писала ранее, прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, которые имеют три пары попарно равных и параллельных прямоугольников.
Чтобы наглядно это увидеть необходимо «разрезать» фигуру и разложить её на плоскости, мы получим развёртку из шести прямоугольников.
У прямоугольного параллелепипеда 2 грани со сторонами a и b, 2 грани со сторонами b и с и 2 грани со сторонами с и a.
Чтобы посчитать площадь прямоугольника мы должны перемножить его длину на ширину, так как одинаковых прямоугольников у нас по 2 (по 2 равные грани), то площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда будет равна:
S=2(ab+bc+ca)
Мы складываем площади трёх разных граней и умножаем на 2, потому что каждая из них встречается дважды.
В каких единицах измеряется площадь поверхности?
Площадь поверхности измеряется:
- в квадратных сантиметрах,
- квадратных метрах,
- квадратных миллиметрах и др.
ВЫВОДЫ
Прямоугольный параллелепипед кажется сложным только на словах.
Если смотреть на него через образы, он становится понятным и логичным.
- Объём — это кубики внутри.
- Площадь поверхности — это прямоугольники снаружи.
- Формулы — это краткая запись того, что мы видим.
Попрактикуйся, а ответы пиши в комментариях!
Задание №1
Прямоугольный параллелепипед имеет размеры:
- a (длина) =5 см,
- b (ширина) =3 см,
- c (высота) =2 см.
- Найдите площадь каждой грани.
- Сколько граней имеют одинаковую площадь?
- Какие пары граней являются равными и параллельными?
Задание №2
Постройте развёртку прямоугольного параллелепипеда с размерами 4×2×1см.
Подпишите размеры всех прямоугольников.
Найдите объем такого прямоугольного параллелепипеда и определите его площадь поверхности. Не забудь указать единицы измерения!
Задание №3
Объём прямоугольного параллелепипеда равен 240 см³. Известно, что его длина равна 10 см, а ширина — 4 см.
Найдите высоту фигуры.
Задание №4
Длина прямоугольного параллелепипеда равна 4 дм, ширина — 30 см, высота — 150 мм.
- Переведите все измерения в сантиметры.
- Найдите объём фигуры.
- Укажите единицу измерения ответа.
Задание №5*
Два прямоугольных параллелепипеда имеют одинаковый объём, равный 120см³.
Размеры первого — 5×4×6 см.
- Найдите возможные размеры второго параллелепипеда.
- Может ли площадь поверхности этих фигур быть разной?
Если эта статья оказалась для вас полезной и помогла взглянуть на геометрию более осмысленно и наглядно, буду рада вашей поддержке.
Вы можете поставить лайк — так я пойму, что подобный формат объяснений действительно нужен. Подписка поможет не потерять следующие материалы, которые будут точно полезны для изучения!
А если у вас есть желание поддержать развитие канала донатом — такая возможность тоже есть. Это не обязательно, но позволяет выпускать больше качественных, продуманных и наглядных материалов.
Спасибо, что читаете и учитесь вдумчиво.