При изучении предмета "физика". а также "механика", да и других дисциплин, где важным инструментом является математика, я часто сталкивался с вопросом, что значит выражение "функция, или параметр, не должны зависеть явно от координат".
Оказывается, фраза «не должна явно зависеть от координаты» всего лишь означает, что в математическом выражении (уравнении, функции, законе) отсутствует прямая, непосредственная ссылка на конкретную координату (например, x, y, z или обобщённую координату qⁱ).
Что значит «явная зависимость»?
Явная зависимость — это всего лишь когда координата присутствует в записи формулы как отдельный символ или аргумент. При этом координаты присутствуют явно в формуле (выражении) как аргумент. Например:
· F(x) = x² + 3 — здесь имеется явная зависимость от x;
· L = 1/2v²(x) − kx — лагранжиан явно зависит от x и x˙.
Если же координата не фигурирует в выражении, то говорят, что величина не зависит от неё явно.
Примеры из физики
1. Однородность пространства
В инерциальной системе отсчёта (ИСО) законы физики не должны меняться при сдвиге начала координат. Поэтому функция Лагранжа L для свободной частицы не зависит явно от q (координаты):
L = L(v) (зависит только от скорости, а не от положения).
Это отражает тот факт, что свойства пространства одинаковы во всех точках.
2. Закон сохранения импульса
Если лагранжиан системы не зависит явно от некоторой координаты qⁱ, то соответствующая обобщённая координата является циклической, и обобщённый импульс pⁱ = ∂L/∂rⁱ сохраняется.
3. Потенциальная энергия в однородном поле
Например, в однородном гравитационном поле потенциальная энергия U = mgh явно зависит от высоты h (координаты). Но если рассмотреть разность потенциалов между двумя точками, то явная зависимость от абсолютной высоты может исчезнуть.
Почему это важно?
Отсутствие явной зависимости от координаты часто связано с:
* симметриями системы (однородность, изотропия);
* законами сохранения (импульса, момента импульса);
* инвариантностью законов относительно преобразований (сдвигов, поворотов).
Выводы
«Не должна явно зависеть от координаты» = в формуле нет прямого упоминания этой координаты как переменной. Это указывает на то, что рассматриваемая величина (энергия, сила, лагранжиан и т. п.) не меняется при изменении данной координаты, что обычно связано с фундаментальными симметриями физической системы.
Вопрос: а может зависеть от другого параметра, которая зависит от координат?
Да, величина может зависеть от другого параметра, который сам зависит от координаты — и это не противоречит утверждению «не должна явно зависеть от координаты».
В чём разница между "явная" и "неявная" зависимость
* Явная зависимость — координата (x, y, z и т. п.) прямо входит в формулу как отдельный аргумент.
Пример: F(x, t) = x² + t — здесь F явно зависит от x.
· Неявная зависимость — координата влияет на величину через промежуточный параметр, но в самой формуле координаты нет.
Пример: F(t) = v²(t), где v(t) = dx/dt (скорость — производная координаты). Здесь F зависит от x неявно (через v), но в записи F(t) координата x не фигурирует.
Примеры
1. Кинетическая энергия T:
T = 1/2mv²,
где v = dx/dt — скорость.
Явной зависимости функции T от x здесь нет: в формуле стоит v, а не x.
Хотя и сама скорость v = dx/dt сама по себе зависит от x(t) через свою производную.
Следовательно, энергия T не зависит от x явно, но зависит неявно от координат через скорость v.
2. Потенциальная энергия U в поле силы
Пусть U = U(r), где r = x² + y² + z² — расстояние от начала координат.
В записи U(r) координаты x, y, z не видны, следовательно — зависимость неявная.
Но r явно строится из координат, следовательно, U не зависит от x явно, но зависит через r.
3. Лагранжиан системы
(лагранжиан - это основное уравнение физики и механики, описывающее закон движения механической системы в механике и физической системы в физике).
L = 1/2mv² − U(q), где q — обобщённая координата.
* Если U(q) не содержит q явно (например, U = const), то L не зависит от q явно.
* Но если q связана с декартовыми координатами (q = q(x, y, z)), то зависимость от x, y, z остаётся неявной.
Почему это важно?
В физике и математике такое разделение критично. Она имеет значение для:
* Законов сохранения: если лагранжиан не зависит явно от координаты qⁱ, то сохраняется обобщённый импульс pⁱ = ∂L/∂vⁱ.
* Симметрий: явное отсутствие координаты означает инвариантность относительно её сдвига (например, однородность пространства).
* Упрощения уравнений: можно исключать явно отсутствующие переменные, даже если они влияют неявно.
Итог
* «Не должна явно зависеть от координаты» = в формуле нет прямого упоминания этой координаты.
* При этом величина может зависеть от других параметров (v, r, q, F и т. п.), которые сами связаны с координатой.
* Такая неявная зависимость не нарушает условие «отсутствия явной зависимости».
нарушает условие «отсутствия явной зависимости».
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Мои странички на Дзен:
1. ВАЛЕРИЙ ТИМИН (статьи по физике, математике, …).
2. Вопросы к Алисе (вопросы, связанные с искусственным интеллектом).
Ссылка на мою статью Как написать формулы в статье на Дзен?
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Если ваш ребенок не отвлекаясь, сидит на гаджете, зайдите на этот сайт для родителей и детей:
Может быть, вы найдете решение Вашего вопроса.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
К читателям: Если есть вопросы, пишите в комментариях.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Если вам понравилась статья, то поставьте "лайк", комментируйте и подпишитесь на канал! Если не понравилась – комментируйте и подписывайтесь. Этим вы поможете каналу. И делитесь ссылками в ваших соцсетях!
Прошу у моих читателей извинения - мои статьи – это мои мысли – а они, как известно, не могут быть истиной в последней инстанции. Они могут совпадать с официальной наукой, а могут и противоречить ей. А могут быть и моими далекими от науки заблуждениями.