Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и отрезков, соединяющих эти точки.
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Признаки равенства треугольников:
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
- Различают 3 вида треугольника по его углам:
1. Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой (равен 90 градусам) я
2. Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые (меньше 90 градусов).
3. Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой (больше 90 градусов).
Теорема. Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180 градусов.
Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: ∠ACD = ∠ABC+ ∠ВАС
Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
- В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
- В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Теорема. В треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.
Теорема. В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
- Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины любых двух сторон треугольника.
Теорема. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Какие еще бывают треугольники?
Равносторонний треугольник – такой треугольник, у которого все стороны равны.
Равнобедренный треугольник – такой треугольник, у которого равны две его стороны, которые называются боковыми сторонами, а третья сторона – основание.
! Если треугольник является равносторонним, то он также является равнобедренным.
Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (АВ = АС, значит угол В = углу С)
- Прямоугольный треугольник
В прямоугольном треугольнике большая сторона называется гипотенузой, а две другие стороны называются катетами (АВ – гипотенуза, АС и СВ – катеты)
Теоремы для прямоугольного треугольника.
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов (угол А + угол В = 90 градусов)
2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы (обратная формулировка также верна: если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла 30 градусов)
3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
- Теорема Пифагора.
Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (АВ) равен сумме квадратов длин катетов.
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Признаки подобия треугольников:
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Коэффициент подобия:
- Коэффициент подобия треугольников – это число, равное отношению сходственных сторон этих треугольников.
- Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
- Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.