Признаки равенства треугольников: от теории к практике
📐 Признак 1: По двум сторонам и углу между ними (СУС)
Стандартная формулировка:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
"На пальцах":
Представьте, что вы собираете два угловых дивана. Если у обоих:
- Левая стенка 1 метр (первая сторона)
- Правая стенка 1.2 метра (вторая сторона)
- Угол между стенками 90°
→ диваны получатся абсолютно одинаковыми!
Пример:
У △ABC и △A₁B₁C₁:
AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁
Вывод: △ABC = △A₁B₁C₁
⚠️ Нюанс: Угол обязательно должен быть между равными сторонами! Иначе "диваны" будут разными.
📐 Признак 2: По стороне и двум прилежащим углам (УСУ)
Стандартная формулировка:
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
"На пальцах":
Заказываем у столяра две полки:
- Длина полки 80 см (сторона)
- Угол с левой стенкой 45° (первый угол)
- Угол с правой стенкой 60° (второй угол)
Мастер сделает две одинаковые полки — другой формы просто не получится!
Пример:
У △ABC и △A₁B₁C₁:
AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁, ∠C = ∠C₁
Вывод: △ABC = △A₁B₁C₁
💡 Лайфхак: Так как сумма углов треугольника всегда 180°, достаточно равенства двух углов — третий будет равен автоматически. Но проще всего искать именно сторону с двумя "соседними" углами.
📐 Признак 3: По трем сторонам (ССС)
Стандартная формулировка:
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
"На пальцах":
Это как конструктор: берем три рейки длиной 50 см, 60 см и 70 см. Собираем треугольник — получается абсолютно жесткая, неизгибаемая фигура. Из таких же реек второй треугольник будет ее точной копией.
Пример:
У △ABC и △A₁B₁C₁:
AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, CA = C₁A₁
Вывод: △ABC = △A₁B₁C₁
📏 Проверка: Убедитесь, что из этих отрезков вообще можно собрать треугольник (сумма любых двух больше третьей).
❌ Опасное заблуждение: "Две стороны и угол НЕ между ними"
Почему не работает:
Если угол находится не между равными сторонами, может существовать два разных треугольника с такими параметрами.
"На пальцах":
Как дверь на петлях:
- Петля одна и та же (сторона)
- Дверь одна и та же (сторона)
- Но дверь можно открыть по-разному — получится и остроугольный, и тупоугольный треугольник!
🎯 Итоговая шпаргалка для решения задач
Алгоритм:
- Найди на чертеже равные элементы (отмечены черточками/дужками)
- Выдели пару треугольников, где видно 3 равных элемента
- Проверь, подходят ли они под один из трех признаков
- Если да — пиши: «Треугольники равны по [номер] признаку»
Полезные лайфхаки:
- Общая сторона у двух треугольников — уже готовая равная сторона!
- Вертикальные углы всегда равны — бери и пользуйся
- Параллельные прямые → равные накрест лежащие/соответственные углы
Мнемоническое правило:
Запоминаем работающие комбинации:
• СУС — "Скрепка углом"
• УСУ — "Углы-Сторона-Углы" (как бутерброд)
• ССС — "Три палки"
А комбинация "СУС", где У не между С — не работает!
Теперь вы вооружены и теорией, и практикой! 📐✨