Решение Шварцшильда — первое и одно из важнейших точных решений уравнений Эйнштейна общей теории относительности. Оно описывает гравитационное поле вне сферически симметричного, не вращающегося и незаряженного тела в вакууме. Несмотря на простоту предпосылок, это решение лежит в основе современного понимания чёрных дыр, гравитационного красного смещения, отклонения света и ряда других эффектов релятивистской гравитации.
Краткая формулировка:
Метрика пространства-времени в координатах Шварцшильда имеет вид:
ds^2 = -(1 - rs/r) c^2 dt^2 + (1 - rs/r)^(-1) dr^2 + r^2 (dθ^2 + sin^2θ dφ^2),
где rs = 2GM/c^2 — радиус Шварцшильда, M — гравитирующая масса, G — гравитационная постоянная, c — скорость света. Это статическая и сферически симметричная вакуумная метрика (тензор энергии-импульса T{μν}=0 вне источника).
Смысл и происхождение:
• Предпосылки: ищется статическое (временная независимость), сферически симметричное (изотропия углов) решение уравнений Эйнштейна в вакууме. Общий вид метрики с двумя функциями от радиуса подставляют в уравнения поля, после чего получают коэффициенты, содержащие интеграционную константу, интерпретируемую как массу.
• Теорема Биркгофа: любое сферически симметричное вакуумное решение обязательно статично и изометрично метрике Шварцшильда. Отсюда следует, что внешнее гравитационное поле сферической звезды или коллапсирующей оболочки совпадает с решением Шварцшильда вне её радиуса независимо от внутренней динамики.
Ньютоновский предел:
При r >> r_s метрика даёт поправки к ньютоновскому потенциалу:
g_tt ≈ -(1 - 2GM/(rc^2)),
что воспроизводит ньютоновскую гравитацию как первый порядок по 1/c^2 и объясняет, почему решение корректно описывает поле слабой гравитации на больших расстояниях.
Геометрия и сингулярности
• r = r_s (радиус Шварцшильда): в координатах Шварцшильда компоненты метрики расходятся — это не физическая, а координатная сингулярность. Её устраняют заменой координат (Эддингтона — Финкельштейна, Крускала — Секереша), где горизонт событий гладок.
• r = 0: истинная (кривизная) сингулярность. Инвариант кривизны (скаляр Кретчмана) растёт как ~ 1/r^6 и стремится к бесконечности, что указывает на физический предел применимости классической ОТО.
• Горизонт событий: поверхность r = r_s, из-под которой свет и частицы не могут вернуться во внешнюю область; граница каузального отделения.
Временная дилатация и красное смещение:
Часы на фиксированном радиусе r идут медленнее, чем на бесконечности:
dτ = dt sqrt(1 - r_s/r).
Фотон, испущенный с радиуса r и зарегистрированный далеко, имеет гравитационное красное смещение
z = 1 / sqrt(1 - r_s/r) - 1.
Оба эффекта подтверждены наблюдениями (включая точность спутниковых навигационных систем).
Движение частиц и света:
Геодезические уравнения в метрике Шварцшильда можно свести к задаче о движении в эффективном потенциале. Из этого следуют ключевые радиусы:
• Сфера фотонов: r = 1.5 r_s = 3GM/c^2 — замкнутые круговые орбиты света (неустойчивые).
• Предельная устойчивая круговая орбита (ISCO) для безмассового тестового тела: rISCO = 3 rs = 6GM/c^2 — ниже этого радиуса устойчивые круговые орбиты невозможны.
• Предельно связанная круговая орбита (marginally bound): r = 2 r_s = 4GM/c^2 — круговая орбита с единичной удельной энергией (неустойчива).
Классические проверочные эффекты ОТО:
• Перигелий Меркурия: дополнительная прецессия орбиты ~43 угл. секунд в столетие объясняется релятивистской поправкой метрики.
• Отклонение света: луч у лимба Солнца отклоняется на ~1.75", подтверждено наблюдениями солнечных затмений и радиоинтерферометрией.
• Задержка Шапиро: дополнительное время прохождения радиосигнала вблизи массивного тела из-за кривизны пространства-времени.
• Гравитационное линзирование: множества изображений, дуги и усиление яркости далеких источников массами-«линзами» согласуются с расчётами в метрике Шварцшильда.
Координаты и глобальная структура• Координаты Эддингтона — Финкельштейна «проклеивают» горизонт, показывая, что r=r_s — регулярная поверхность для падающего наблюдателя.
• Координаты Крускала — Секереша дают полную причинную диаграмму, где выделяются внешняя область, чёрная дыра (внутренняя область), белая дыра и асимптотически плоская «вторая» область (в идеализованной максимальном продолжении).
• Внешняя область асимптотически плоская; масса определяется через асимптотику (масса Арновитта — Дезера — Мизнера в более общем контексте).
Интерьер и обобщения:
• Внутреннее решение Шварцшильда (для идеализованной звезды постоянной плотности) сшивается по поверхности с внешней метрикой, описывая статическую сферическую конфигурацию материи до некоторой максимальной плотности.
• Обобщённые решения:
– Рейсснера — Нордстрёма: учёт электрического заряда.
– Керра: вращающиеся чёрные дыры (осиальная симметрия).
– Керра — Ньюмана: масса + заряд + вращение.
Эти решения показывают, что невращающаяся незаряженная чёрная дыра характеризуется одним параметром — массой (теорема «безволосости» в простейшем виде).
Термодинамика и квантовые аспекты (эскиз)
Классическая площадь горизонта A = 4π r_s^2 ведёт себя как энтропия, а квантово-полевая теория на фоне чёрной дыры предсказывает излучение Хокинга с температурой
TH = ħ c^3 / (8π G M kB),
что связывает геометрию Шварцшильда с принципами термодинамики и квантовой теории.
Практическое значение
• Навигация и связь: учёт релятивистского сдвига хода часов в гравитационном поле Земли.
• Астрофизика: модели аккреционных дисков, тени чёрных дыр, траектории звёзд около сверхмассивных объектов.
• Гравитационное линзирование: измерения масс галактик и скоплений, карта тёмной материи.
Итоги
Решение Шварцшильда — фундамент современной гравитационной физики. Оно обеспечивает:
• строгую связь с ньютоновской гравитацией в пределе слабых полей;
• непротиворечивое описание горизонта событий и чёрных дыр;
• точные количественные предсказания для движения света и материи, подтверждённые наблюдениями;
• отправную точку для более сложных решений и исследований квантово-гравитационных явлений.
Несмотря на столетнюю историю, это решение остаётся рабочей лошадкой теории гравитации — и в учебниках, и в современных исследовательских задачах.