Всем привет, меня зовут андрей, это снова я.
Недавно на канале В.Казакова вышла задача:
Несколько комментариев. ABC - это прямоугольный треугольник, в нем AK - это биссектриса. Зеленый квадрат лежит на сторонах AC и BC. Точка M и проходит через квадрат, и принадлежит биссектрисе, причем AM=2, а MK=1. Найти площадь треугольника ABC.
Решение. Если провести отрезок MC, тогда в треугольнике AKC биссектриса MC (она будет биссектрисой, поскольку это диагональ зеленого квадрата) разделит треугольник AKC на два треугольника, причем их площади будут относиться как 1:2 (это следует из отношения KM:MA). А поскольку площадь треугольника CMK можно представить в виде формулы 0,5 * MC * KC * sin (45), а площадь треугольника CMA можно представить в виде формулы 0,5 * MC * AC * sin (45), то отсюда следует вывод: КС:АС = 1:2.
2. Уже сейчас можно найти AC по теореме Пифагора. Пусть KC = x, тогда AC=2x. По теореме Пифагора сумма квадрата катетов равна квадрату гипотенузы. Квадрат стороны AK = 5x^2 и это равно 9 (3^2) по условию. Отсюда x^2=9*5=1.8. х=√1,8 (значит, AC=2х=2√1,8
Но у нас сторона квадрата - это не только 2/3 от х (то есть (2√1,8)/3)), но сторона квадрата - это еще и радиус вписанной окружности (потому что точка M - это точка пересечения биссектрис, а где пересекаются две, там пересекаются и три биссектрисы, там и есть центр вписанной окружности). Пусть оставшиеся стороны квадрата P и Q, тогда MQ и MP - это будут радиусы вписанной окружности.
3.Ранее я на своем канале говорил о том, что если известен радиус вписанной окружности и отношение, на которое делит окружность точкой касания любую из сторон треугольника, то можно восстановить весь треугольник.
В нашем конкретном случае известно не только отношение сторон, но также и то, что треугольник - прямоугольный. Это упростит задачу, ибо можно применить теорему Пифагора.
AC = 2KC=2√1,8
Но с другой стороны
Здесь PC=MC=MQ=(2/3)*√1,8 - это и есть радиус вписанной окружности.
В общем, исходя из того факта, что несколько касательных, проведенных из одной точки пространства к одной и той же окружности, равны между собой, мы уже сейчас можем принять BQ за x (O1B тогда тоже будет равно х) и составить уравнение согласно теореме Пифагора.
Если мы радиус вписанной окружности примем за t, тогда получим, что AP = 2t, AC=3t, CQ=t. AO1 = 2t (было бы t числом рациональным или целым, не было бы необходимости в создании для него отдельной буквы).
Итак, BQ-BO1. Можно это самое BQ принять за y и применить теорему Пифагора:
Итак, y=3t. Но тогда катет CB будет равен 4t, а площадь всего треугольника ABC будет равна половине произведения катетов:
Итак, площадь равна 4,8. Это и есть ответ.
А можно было и воспользоваться другим способом для решения задачи. Когда мы узнали, что KC:AC = 1:2 и нашли все катеты в треугольнике AKC (напомню, что эти катеты равны √1,8 и 2√1,8), то можно вспомнить о том, что у нас AK это биссектриса. Это значит, что зная тангенс угла KAC, который равен 0,5, можно найти тангенс BAC по формула тангенса двойного угла:
Итак, тангенс равен: (2*0,5)/(1-0,25)=4/3.
А это значит, что ABC - это египетский треугольник. И если AC=2√1,8, то BC=4/3 от AC (это даже можно не считать, ведь нам нужна площадь треугольника ABC, а не каждый его катет, то есть второй катет можно так и оставить: 4/3 от AC).
Мы снова получили 4,8. Это и есть наш ответ.
А на этом пока всё, всем пока, и до новых встреч.