Определения
- Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на равном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности.
- Радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой, лежащей на окружности.
- Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности.
- Диаметр окружности – это хорда, проходящая через центр окружности.
Центральные и вписанные углы
- Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности. Величина центрального угла равна дуге окружности, на которую он опирается.
- Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Величина вписанного угла равна половине дуги окружности, на которую он опирается.
Следствия вписанного угла:
1) Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны.
2) Вписанный угол, который опирается на полуокружность, прямой.
3) Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Касательная к окружности
Прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
- Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (ОН перпендикулярно АВ, рисунок выше)
- Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны (АС=СВ, рисунок выше)
- Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними (рисунок выше).
- Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды (AS ⋅ SC = DS ⋅ SB, рисунок ниже)
- Равные дуги окружности стягиваются равными хордами.
- Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен (верно и обратное).
Важные формулы:
Длина окружности c радиусом R = 2πR
Площадь круга с радиусом R:
Окружность и другие фигуры
- Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, так, что центр описанной окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
- Если суммы противоположных углов четырехугольника равны 180 градусов, тогда можно описать окружность около этого четырехугольника.
- Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны