Мы привыкли думать, что числа — это метки на прямой: 1, 2, 3… Точки, которые можно пересчитать. Но что, если за этой простотой скрывается целая вселенная? Что, если число — не то, что мы привыкли представлять?
Сегодня я предлагаю взглянуть на математику иначе — через призму масштабов и границ. Это не «альтернативная математика», а попытка увидеть привычное глубже.
Что есть математика?
Изучение чисел и формирование систем счисления началось в древнейших цивилизациях Месопотамии и Египта примерно 5 тысяч лет назад (III–IV тысячелетия до н. э.).
- Месопотамия (Шумер, Вавилон)
Время: около 3000–2000 гг. до н. э.
Способ записи: клинопись на глиняных табличках.
Особенности:
• введены знаки для чисел 1, 10, 100;
• использовались принципы сложения и умножения;
• большие числа записывались перед меньшими;
• найдены 44 таблички с изложением вавилонской математической науки.
- Древний Египет
Время: сопоставимо с Месопотамией (III тысячелетие до н. э.).
Способ записи: иероглифы, позднее — иератическое письмо.
Особенности:
• специальные знаки для цифр;
• запись от больших чисел к меньшим;
• умение работать с дробями (почти все — с числителем 1; для 2⁄3 были особые знаки).
- Позднее — в Древней Греции — математика развивалась из практических потребностей хозяйства, торговли, измерений расстояний, времени, площадей, а также астрономии.
Слово «арифметика» происходит от древнегреческого слова «аритмос» («число»).
В Древней Греции «аритметике тэкнэ» — это «наука о счёте».
Почему греческое «аритметике» стало «арифметикой»:
В греческом языке буква «Θ» («тэта») произносилась то как «th», то как «f». Западные языки усвоили первое произношение, русский — второе. Отсюда современное написание.
Откуда берётся слово «математика»
Слово имеет древнегреческое происхождение: μάθημα (máthēma) — «изучение, знание».
Прилагательное μαθηματικός (mathēmatikós) означало «относящийся к обучению», позднее — «математический».
В античности существовало выражение μαθηματικὴ τέχνη — «искусство математики» (лат. ars mathematica).
Термин в современном значении встречается уже у Аристотеля (IV век до н. э.).
Древние греки выделяли четыре «матемы»:
• арифметику,
• геометрию,
• теорию музыки (гармонию),
• астрономию.
В русский язык слово пришло через польский или латинский.
В текстах фиксируется с XVII века.
Как развивалось понятие числа
• Сначала люди считали на пальцах, потом использовали зарубки, камешки, чёрточки.
• Затем появились графические знаки.
• Позже — переход от конкретного счёта предметов к абстрактному числу.
• Появились дроби.
• Главный прорыв — индийская позиционная система (10 цифр и ноль), затем распространённая арабами.
Число сегодня
Число одновременно является и образом, и точкой на шкале, и количеством. Оно отражает многогранность:
• количество,
• точка,
• символ или образ.
Количество отвечает на вопрос «сколько?»,
точка — где находится,
образ — что означает.
Из-за этого возникает необходимость уточнять семантику числа. Например:
5 — это пять дней или пятый день?
Это не одно и то же.
Математика — это система, где:
• Аксиомы задают правила игры;
• Логика обеспечивает корректность выводов;
• Абстракция позволяет обобщать;
• Формализация устраняет неоднозначность;
• Проверка на непротиворечивость обеспечивает надёжность.
«Математика — это язык, на котором написана книга природы» — Галилео Галилей.
Нам нужно понимать не только «как», но и «что» мы измеряем.
«Самое непонятное в мире — то, что он понятен» — А. Эйнштейн.
Число по новому
В школе нас учат: число — точка на числовой прямой. Точки заполняют всю числовую прямую.
Но это упрощение. Точка абсолютная, а значит безразмерная. Мерить безразмерное безразмерным некорректно.
Я предлагаю следующее:
Число — это интервал, заполняющий числовую прямую без зазоров.
Например,
число 5 — это интервал [0 : 5).
1 — [0 : 1).
- 5 — это ряд из 5 интервалов-единиц.
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
При делении 5 на 2 мы получаем размер интервала с индексом 2,5, а не состав первых двух интервалов и половину третьего интервала.
Когда мы делим 5 пополам, получаем 2 и 5/10.
5/10 означает, что для уточнения положения искомой точки мы должны «углубляться» внутрь интервала [0:1), используя уровни дробления числа.
Если число периодическое, то спуск продолжается бесконечно.
Это свойство указывает, что в нашем способе исчисления в числовой прямой:
число — не точка; число — интервал между точками. Это отражает суть того, что наша числовая система не всегда точно указывает на реальное положение точек. Число есть (к примеру 1/3), но периодическое число просто не может его записать (0,(3)).
Ноль — почему это не число
Ноль не отвечает на вопрос «сколько?» и не является интервалом.
0 — граница чисел, а не само число.
Ноль — это начало и конец интервала. А интервал — это единица меры. Ноль неотъемлемая часть любого числа.
Суть результата — размеры, а не состав
Если сложить два одинаковых по количеству и противоположных по расположению от ноля числа, получаем ноль — границу.
Не интервал, а переход между интервалами. Это означает что состав любых двух одинаковых по количеству, но разных по знаку (расположению относительно ноля) чисел это тоже самое что и ноль пустота-граница.
Ноль отвечает не на вопрос «сколько?», а на вопрос «отсутствует?»
Ноль является основой всех чисел, тем самым он сравним с бесконечностью. Ноль это пустота наполненная содержанием-числами.
Любое число можно объединить с бесконечностью нолей и это не повлияет на результат.
Можно записать А + 0 как А + (А+(-А)). Речь по сути о составе чисел, а не чисел и ноля.
Операции над числами
Сложение и вычитание
Это составление.
Результат — новый интервал, отражающий суммарный размер состава чисел.
Умножение и деление
Это сравнение.
Мы определяем, как одно число влияет на другое.
Степень
Здесь сложнее.
Возведение в степень — это операция, раскрывающая структуру N-мерности.
Степень — это не просто число, а разряд перехода между уровнями, подобно фракталу.
Если степень дробная, например 0,33, то мы можем, конечно, предположить, что имеем дело с «кусочком» структуры пространства, но это не совсем так. Даже, совсем не так.
От нуля до единицы поведение кривой степени естественно дополняет и продолжает весь наш график от единицы до бесконечности. От ноля до единицы - структура разрядности числа, а от единицы до бесконечности его кратность. Или так, в первом отрезке мы видим разложение числа на уровни, масштабирование или последовательный переход на уровень все меньше и меньше, где наша N мерность меньше единицы. Реальность не имеет масштаба, а наша числовая система имеет. Нам может показаться, что одномерное пространство это степень 1, а из графика следует что это ноль, как абсолютная точка. При этом четко проявляется дуализм. Ноль и бесконечность это две противоположности в смысле мерностей. Моно мерность и Много мерность. Ноль - мономерен, бесконечность - многомерна.
Далее я говорю что они равны, но это тоже логично. Сложно представить и звучит конечно странно. Дело в том, что и ноль и бесконечность это не числа, а безразмерные элементы. И с позиции количественного сравнения они равны. В философии это дуализм. Проще говоря противоположности всегда равны и различны только по своей сути.
Интересные элементы, похожие на числа
Есть элементы, участвующие в операциях, но не являющиеся числами:
• ноль,
• бесконечность,
• результат «корней нет»,
• все числа одновременно,
• число - любое из чисел,
• иные абстрактные элементы.
Они обладают свойствами чисел, но имеют дополнительную природу.
Числа — это семечки, а эти элементы — целый арбуз.
О нуле в степени ноль
0⁰ рассматривают по-разному. Одни считают равным 1, другие — 0.
Я предлагаю следующую логику:
0⁰ = Aⁿ / Aⁿ при A = 0.
Сравниваются два одинаковых элемента.
Сравнение одинаковых величин всегда даёт 1.
«Насколько пустота больше самой себя?» — равно 1.
Поэтому 0⁰ = 1 по смыслу операции сравнения. Но из этого следует очевидный вопрос.
Можно ли делить на ноль?
A / 0 = ?
A / (A – A) = ?
Мы сравниваем количество (число) и пустоту (качество).
Это некорректный вопрос:
сколько раз пустота помещается в количестве?
Пустота соразмерна только бесконечности — своей противоположности.
Сравнение пустоты с собой даёт 1.
Сравнение числа с пустотой — не имеет решения, некорректно.
Следовательно, если А равно нолю или бесконечности, то ответ 1.
При А больше ноля, но меньше бесконечности, не имеет решения.
В итоге.
А/0 = 1 при А = 0 или бесконечности.
А*0 некорректно по логике изложения счета, но если записать как А*(А+(-А)) -> А*А + (-А*А) = 0 это граница между двумя равными по количеству но противоположными по знаку интервалами.
Отсюда 0*0 это (А +(-А)) * (А + (-А)) = ?
(А*А + А*(-А)+((-А)*А)+ (-А)*(-А))
А*А + 2(А*(-А))+(-А)*(-А)
Совершенно иначе чем учат в школе.
Составление двух разных онтологий. Одна А+(-А) даёт состав с итогом границу. Вторая А*(-А) даёт сравнение противоположностей, где разница прлявляется только в знаках + или -. В итоге говорим о составе двух границ-нолей полученных из сравнения. Можно считать это пустым действием, так как у пустоты нет границ, как и у бесконечности. С другой стороны, если сравнить как увеличится ноль относительно самого себя, то ответ равен 0.
Следующее (-А)*(-А) и почему знак + в итоге сравнения, а в +А*(-А) всегда минус. Правильнее говорить о числе и его направлении. Тогда все сразу более чем ясно, только + * + не меняет направление интервалов при сравнении.
Корень из той самой - 1.
Запишем так √ (-1 *(А*А)/(А*А)) отсюда А/А ответ, где А это любое число, а -1 просто меняет направлениеене. Теперь, что такое корень, это число которое при умножении самого на себя н раз даёт число в корне. Осталось понять число и знак это одно и тоже или нет. Разумеется нет. Поэтому чётное количество корней никогда не даст противоположный разворот. Ответ: это некорректный вопрос. Посмотрим на графике ( степень:число) и мы увидим что от ноля до единицы это положительные значения. А так как от 0 до 1 это все корни, то соответственно корня второй степени от -1 не существует, соответственно использование комплексных чисел разумно отвязать от мнимой единицы. И просто говорить о дополнительном измерении к числовой прямой. На графике есть второй отрицательный корень от нечётных степеней. Для функции это значит, что результат может быть один но с любым знаком + -. Здесь есть коллапс классики небольшой, так как корень может быть четным или не четным, но тот же корень виде степени в классике не может считаться четным или не четным. Исправим это и скажем что в дроби знаменатель и числитель определяют знак + или - по отдельности и в целом. И этот знак будет соответствовать четности числителя и знаменателя.
Тут открывается ещё очень интересное. Знак не привязан к числу.
К примеру возьмём степень 1/3 и нам понятно, что отрицательное число возможно. Но что если преобразовать 1/3 в 2/6. Все меняется до невозможности отрицательной степени. Но 1/3 =2/6. Здесь как я и говорил важно понимать что операция возведения в степень это переход между н-местностями и именно степень определяет н-мерность, а результат умножения числа самого на себя это как фрактальная структура каждого уровня. Для н- мерности важна четность уровня, а не результат. Образно говоря важен не количественный обьем пространства, а количество его изменений: 2D или 3 D.
Для классики это как корень имеющий несколько значений в зависимости от не эквивалентности операций. По факту просто низкая семантика операции возведения в степень.
Ещё некоторые вопросы и ответы следующие из нового представления
Можно ли к бесконечности прибавить число или отнять?
Нет, так как это число уже в составе не количественной, а онтологической сути бесконечности и чтобы к ней, к примеру, прибавить это число, вам одновременно это число от нее нужно сначала отнять. По другому: никакой из составов чисел не даёт в итоге бесконечность.
Можно ли объединить 0 и бесконечность?
Или пустоту наполнить содержанием. Да, но такого элемента в математике нет.
Некоторые итоговые элементы так просто и называются в математике: корни.
К примеру:
- все числа;
- любое число;
- нет чисел;
- интервал;
- ряд чисел;
- несколько определенных чисел.
Это из известных корней-чисел.
Но число ПИ не поддается никакой известной системе исчисления.
Что не так с ПИ?
Если онтологически говорить про отношение диаметра к периметру окружности, то сразу хочется сказать, что диаметр - это линия, а окружность - кривая.
Результат их сравнения даёт ПИ. Насколько окружность кривая относительно прямой - это ответ. И как частный случай свойств кривизны, это количественное свойство их длины. Или так: об окружности можно говорить как о прямой, если соотнести ее с разницей в ПИ. Так мы говорим к примеру о площади круга, измеряя ее в квадратах.
По этой логике можно сказать, что треугольники корректно мерить в треугольниках, а сферы в сферах. Так, но эта разница, это свойство мира, дающее многообразие, а мы просто все для простоты понимания пытаемся соотнести и сравнить между собой. Появляются коэффициенты. Е=м*с^2 - энергия соотнесена с массой, где с-коэффициент, а степень 2 - мерность.
Суть коэффициента не в количестве, а в разнице. Поэтому коэффициенты везде безразмерны и абстрактны, с одной стороны, с другой привязаны к тому, что сравнивается и не живут самостоятельно.
Есть пространство и есть время. Между ними, как коэффициент, скорость. Иначе невозможно соотнести между собой элементы с разной онтологической сутью.
Но для скорости и пространства, тогда, коэффициентом является время. Это так. При сравнении разного, мы всегда ищем что-то их объединяющее. Может не всегда это называем коэффициент, но это только потому, что это отношение количественно может быть не всегда постоянное число.
Кроме чисел, можно отдельно поговорить о самой числовой прямой в контексте знаков + и -. Семантика знаков в классической математики тоже двоякая. С одной стороны это направление относительно ноля на числовой прямой, с другой - действие по вычитанию. А для степеней это вообще даёт нелинейность решения. К примеру -А в степени 1/3, это не одно и тоже, что -А в степени 2/6. Хотя 1/3=2/6. Если А без минуса, то ответ одинаковый, а с минусом все не так однозначно. Вскрывается истинная природа знака и его сути. Но классики пока не готовы принять это, как и многое, о чем сказано выше. Пока в классике знак это и действие и направление одновременно.
И это только некоторое из того, что на поверхности фундамента математики.
Продолжение следует...