Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число.
Какие ограничения накладываются на основание и аргумент логарифма?
Основание логарифма – число положительное и не равное 1 (a > 0, a ≠ 1)
Аргумент логарифма – число положительное (b > 0)
Разберем на примере:
- Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg.
- Логарифм с основанием е называется натуральным и обозначается ln.
Основное логарифмическое тождество:
Если возвести основание (a) в степень, равную логарифму числа (b) по этому же основанию, получится исходное число (b).
Рассмотрим основные свойства логарифмов:
1. Логарифм 1 по основанию a всегда равен 0, потому что любое число a в степени 0 равно 1.
2. Логарифм числа a по основанию a всегда равен 1, так как это степень, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число a.
3. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
4. Логарифм частного — это разность логарифмов делимого и делителя, при условии, что логарифмы имеют одинаковое основание.
5.
6.
7.
8. Формула перехода к новому основанию:
Производная от логарифма:
- Производная натурального логарифма от х равна единице, деленной на х:
- Производная логарифма по основанию а равна единице, деленной на переменную х, умноженную на натуральный логарифм от а:
Предлагаю рассмотреть логарифмическую функцию.
Свойства логарифмической функции:
1. Область определения: (0; +∞)
2. Область значений: R
3. Функция не является ни четной, ни нечетной
4. Нули: у=0 при x=1
5. Промежутки знакопостоянства:
если 0<а<1, то у>0 при х ∈ (0;1) и у<0 при x ∈ (1; +∞)
если а>1, то у>0 при х ∈ (1; +∞) и у<0 при x ∈ (0;1)
6. Промежутки монотонности
если 0<а<1 функция убывает при х ∈ (0; +∞)
если а>1 функция возрастает при х ∈ (0; +∞)
7. Экстремумов НЕТ
8. График функции проходит через точку (1;0)
9. Асимптота: x=0