Не нужно зубрить всё подряд! Ниже предлагаю вашему вниманию план, по которому можно легко выучить тригонометрию.
Этап 1: Фундамент (Понимание, а не зубрежка)
Это основой этап. Поймите, без понимания этого этапа, освоить тригонометрию не получится!
1. Единичная окружность — это ваш лучший друг.
· Запомните: Радиус = 1.
· Что такое синус и косинус? Любая точка на этой окружности имеет координаты (cos α, sin α), где α — угол между положительной осью X и радиусом к этой точке.
· Косинус — это координата X.
· Синус — это координата Y.
· Зачем это нужно? Это определение работает для ЛЮБОГО угла (даже больше 360° или отрицательного), а не только для углов прямоугольного треугольника.
2. Знаки функций по четвертям.
· Нарисуйте окружность и разделите ее на 4 четверти.
· 1 четверть (0°-90°): Все функции положительны.
· 2 четверть (90°-180°): Синус положителен.
· 3 четверть (180°-270°): Тангенс (и котангенс) положительны.
· 4 четверть (270°-360°): Косинус положителен.
3. Таблица основных углов.
· Не зубрите ее, а поймите закономерность для углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
· Для синуса: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 → 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1.
· Для косинуса — та же строка, но в обратном порядке.
· Нарисуйте эту таблицу и повесьте на видном месте. Через день-два вы ее запомните.
Этап 2: Ключевые формулы и связи
Выучить формулы в любом случае придётся. Без этого никак!
1. Основное тригонометрическое тождество:
· sin²α + cos²α = 1
· Если знаешь синус, можешь найти косинус, и наоборот.
2. Что такое тангенс и котангенс?
· tg α = sin α / cos α
· ctg α = cos α / sin α
· Запомните, что тангенс и котангенс — это отношения синуса и косинуса.
3. Формулы приведения.
· Не зубрите таблицу! Используйте два правила:
· 1. Определите знак по четвертям (см. этап 1).
· 2. Функция меняется на ко-функцию (sin ↔ cos, tg ↔ ctg),
Запоминаем раз и навсегда: когда угол «вертикальный» — функция меняется.
Шаг 1: Представьте себе часы
Ваша цель — определить, меняется ли функция (sin на cos, cos на sin, tg на ctg) или нет.
· «Горизонтальные» углы (функция НЕ меняется): 180° и 360° (или π и 2π).
· Функции: sin остаётся sin, cos остаётся cos.
· «Вертикальные» углы (функция МЕНЯЕТСЯ на ко-функцию): 90° и 270° (или π/2 и 3π/2).
· Функции: sin становится cos, cos становится sin, tg становится ctg.
Шаг 2: Простое правило-помощник
Произнесите фразу и запомните её:
«Если в углу есть 90° или 270° (π/2 или 3π/2) — функция МЕНЯЕТСЯ. Во всех других случаях — НЕ меняется.»
Шаг 3: Как этим пользоваться?
Пример 1: sin(180° - α)
1. Смотрим на угол: 180°. Это «горизонтальный» угол? Да.
2. Вывод: функция НЕ меняется. Остаётся sin.
3. Ответ: sin(180° - α) = sin α (знак определяем отдельно по четвертям).
Пример 2: cos(90° + α)
1. Смотрим на угол: 90°. Это «вертикальный» угол? Да!
2. Вывод: функция МЕНЯЕТСЯ. cos становится sin.
3. Ответ: cos(90° + α) = -sin α (ставим минус, потому что косинус в этой четверти отрицательный).
Пример 3: tg(270° - α)
1. Смотрим на угол: 270°. Это «вертикальный» угол? Да!
2. Вывод: функция МЕНЯЕТСЯ. tg становится ctg.
3. Ответ: tg(270° - α) = +ctg α (знак плюс определяем по четвертям для тангенса).
Пример 4: sin(360° - α)
1. Смотрим на угол: 360°. Это «горизонтальный» угол? Да.
2. Вывод: функция НЕ меняется. Остаётся sin.
3. Ответ: sin(360° - α) = -sin α (синус в четвертой четверти отрицательный).
Этап 3: Практика и решение задач (Закрепление)
Теория без практики бесполезна.
1. Начните с простых задач:
· «Найдите sin α, если cos α = -0.8 и α лежит в третьей четверти».
· «Вычислите tg 45° + 2 cos 60° - sin 270°».
· «Упростите выражение: (1 - cos α)(1 + cos α)».
2. Решайте уравнения:
· Самые простые: sin x = a, cos x = a.
· Всегда рисуйте единичную окружность, чтобы найти все корни, а не только один.
(Мнемоника (или мнемотехника) — это совокупность специальных приёмов и способов, облегчающих запоминание нужной информации и увеличивающих объём памяти)
3. Используйте мнемоники для сложных формул:
· Формулы сложения: Синус суммы: «Синьор синус косинусный, с косинусом синусный» → sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b.
· Косинус суммы: «Косинус — это косинус косой, синус синусный такой» → cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b. (Знак минус!).
План-максимум на 3-5 дней интенсивной работы:
· День 1: Единичная окружность, определения синуса/косинуса, знаки по четвертям, таблица основных углов.
· День 2: Тангенс/котангенс, основное тригонометрическое тождество. Простые задачи на вычисление.
· День 3: Формулы приведения. Отработка на практике.
· День 4: Простейшие тригонометрические уравнения (sin x = a).
· День 5: Повторение, решение комплексных задач, где нужно применить все знания вместе.
Полезные советы:
· Рисуйте! Всегда держите под рукой листок с изображением единичной окружности.
· Используйте технологии: есть отличные приложения и сайты (например, GeoGebra) с интерактивной единичной окружностью.
· Не бойтесь делать ошибки. Ошибка — это шаг к пониманию. Делайте разборы своих ошибок.
· Найдите понятного вам преподавателя на YouTube, RUTUBE. Иногда одного «слышишь», а другого — «понимаешь».
Удачи вам в ваших трудах!