Рассмотрим решение задачи, которая на канале Валерия Казакова решена с использованием дополнительного построения с вписанной окружностью. Задача дана под заголовком «Японский выпускной! Банзай!». Итак, задача выпускного экзамена за 9 класс.
1. Дана прямоугольная трапеция, большее основание которой равно 12, боковые стороны 15 и 12. Окружность касается меньшего основания и боковых сторон. Найдите радиус этой окружности.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Японский выпускной! Банзай! | Наглядная Геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/6912c92dbd0bbd39bfc352c5
Валерий Казаков показал, как эту задачу можно решить, применяя подобие треугольников и вычисляя радиус окружности, вписанной в треугольник. Трудно ожидать от школьников такой изобретательности, от них можно ожидать более простого решения с двукратным применением теоремы Пифагора.
Решение. Проведём прямую CE и прямую LN через центр окружности O, параллельные AD, проведём радиусы окружности OM и OK в точки касания и отрезок BO.
В прямоугольнике AECD CE = 12, а в прямоугольном треугольнике BCE по теореме Пифагора вычислим катет BE: BE = 9, тогда CD = AE = 12 – 9 = 3.
Обозначим радиус окружности r, тогда
MC = CN = 3 – r, а BM = 15 – (3 – r) = 12 + r.
Теперь по теореме Пифагора найдем квадрат гипотенузы BO в двух прямоугольных треугольниках и результаты приравняем: