Ахиллес и черепаха

Читаю "Войну и мир" Льва Николаевича Толстого и в третьем томе, в начале части третьей нахожу старинную задачу об Ахиллесе и черепахе, вот текст: "Известен так называемый софизм древних, состоящий в том, что Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху, несмотря на то, что Ахиллес идет в десять раз скорее черепахи, как только Ахиллес пройдет пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет впереди его десятую этого пространства; Ахиллес пройдет десятую, черепаха пройдет одну сотую и т.д. до бесконечности. Задача эта представлялась древним неразрешимой." Я решил ее так, пусть скорость Ахиллеса относится к скорости черепахи, как 10 к 1: VАхиллеса/Vчерепахи=10 или Vчерепахи=V/10, тогда расстояние которое преодолеет Ахиллес за время t будет SАхиллеса=V*t, а черепахи Sчерепахи=V*t/10. Рассмотрим сколько же всего пробегут Ахиллес и черепаха за время t: на первом участке S1=V*t1+V*t1/10, на втором участке S2=V*t2+V*t2/10, расстояния которые пройдет черепаха на первом участке, равна расстоянию, которое пройдет Ахиллес на втором, поэтому: V*t1/10=V*t2, отсюда t2=t1/10, поэтому можно записать: S2=V*t1/10+V*t1/100, тогда для третьего участка: S3=V*t1/100+V*t1/1000 и т.д. Итак сумма всех дистанций пройденных Ахиллесом будет: S=V*t1+V*t1/10+V*t1/100+V*t1/1000+...=V*t1(1+0,1+0,01+0,001+...). То есть получается геометрическая прогрессия. Чему же она равна? Представим геометрическую прогрессию в виде: S1=b(1+q+q^2+...+q^(n-1)), умножим правые и левые части на q, получим: q*S1=b(q+q^2+q^3...+q^n), вычтем из первого уравнения второе, получим: S1(1-q)=b*(1-q^n) или S1=b*(1-q^n)/(1-q). Итак для S получаем: S=V*t1*(1-0,1^n)/(1-0,1), рассмотрим предел при n стремящемся к бесконечности: S=limitn→unlimitV*t1*(1-0,1^n)/(1-0,1)=V*t1/0,9. А S можно представить как S=V*T, где T, то время, за которое Ахиллес догонит черепаху, а t1 это время за которое Ахиллес преодолеет первоначальное расстояние отделяющее черепаху от него, итак V*T=V*t1/0,9 или T=t1/0,9, а t1=L/V, где L, расстояние которое отделяет первоначально Ахиллеса от черепахи, пусть V=10 м/с, а L=100 м, тогда t1=100/10=10 с, а T=10/0,9=11,11(1) с. Сравним наше решение с современным подходом. Возьмем ось абцисс Х, за начало отсчета положение начальное Ахиллеса х10=0, его скорость V1=v=10 м/с, начальное положение черепахи будет х20=L=100 м, скорость V2=v/10=1 м/с. Возьмем систему отсчета движущуюся вместе с черепахой, с началом отсчета в первоначальном месте расположения черепахи, координата х'=x-L , скорость V'=V-v/10, тогда начальные координаты Ахиллеса в этой системе будут х'10=х10-L=-L, скорость V'1=V1-v/10=v-v/10=0,9v, координаты черепахи х'20=х20-L=0, V'2=V2-v=v/10-v/10=0. Координата Ахиллеса меняется в этой системе отсчета по закону: х'1=x'10+V'1t , х'1=-L+0,9vt , Ахиллес нагонит черепаху тогда, когда х'1 станет равным нулю, т.е. 0=-L+0,9vt , отсюда L=0,9 vt, t=L/0,9v, итак t=100/0,9*10=10/0,9=11,11(1) с. Ответы, как видите совпадают! Заметьте, что единица после запятой в ответе в периоде, т.е. вопрос остается открытым, насколько правдоподобны наши подходы к решению этой проблемы? Пишите! Скорее Ахиллес, просто в конце концов наступит черепахе на хвост!