Когда-то году в 2005-2006 написал теорию о зубчатых колесах для технологов, что-бы знания не были потеряны решил её выложить в сеть. Немного математики, без этого никуда, это самое простое объяснение процесса изготовления зубчатых колес которое я видел
1. Цилиндрическое зубчатое зацепление.
Профиль зуба колеса представляет собой эвольвенту.
Эвольвента-кривая описанная точкой принадлежащей прямой совершающей движение качения без скольжения по основной окружности. Точка не совершает движения относительно прямой. Эвольвента получается в неподвижной плоскости окружности. (см. рис. 1). Профиль эвольвенты полностью определяется диаметром основной окружности.
Длина отрезка АБ постоянно увеличивается (соответственно увеличивается и радиус кривизны эвольвенты). При совершении движение качения каждая точка касания прямой с окружностью (точка Б на прямой) соответствует определенной точке окружности и соответственно увеличение длины прямой АБ равно длине дуги по которой она прокатилась.
Цилиндрическое зубчатое зацепление лучше всего рассматривать как зацепление колеса с зубчатой рейкой, это вполне правомочно так как рейку можно рассматривать как колесо с основной окружностью бесконечного диметра. Шагом рейки (p) называется расстояние между двумя равноименными поверхностями см. рис. 2. Делительной прямой рейки принято называть прямую, на которой ширина впадины равна ширине зуба, и оба они равны половине шага рейки.
Главное условие зацепления – непрерывное с постоянной скоростью качение делительной прямой рейки по делительной окружности колеса без скольжения (т. е. линейные скорости точек касания прямой и делительной окружности равны) см. рис. 2. При этом условии на делительной окружности как бы отпечатаются зубья рейки, шаг, ширина впадины и ширина зуба рейки будут равны соответствующим длинам окружности зубчатого колеса на делительном диаметре.
При выбранном шаге рейки – P и числе зубьев Z которое получится на зубчатом колесе, делительный диаметр (d) будет вычислен из условия целого числа Z зубьев, размещенных на длине окружности делительного диаметра:
Длина окружности - L=PZ=Пd, отсюда делительный диаметр:
d=ZP/П; (П - число пи)
при этом число P/П=m – называют модулем колеса, это понятие введено чтобы не оперировать числами с бесконечными дробями.
Таким образом делительный диаметр зубчатого колеса d – это окружность на длине дуги которой умещается целое число зубьев, выполненных с модулем – m (с шагом P): d=mz
При выполнении главного условия зацепления – профиль каждого зуба в поперечном сечении колеса представляет из себя две симметричных эвольвенты с основной окружностью диаметр которой равен do=d*cos a; где a(альфа) – угол профиля зуба рейки, см. рис. 3. Для доказательства того, что эвольвента полученная качением прямой по окружности с диаметром do, будет иметь непрерывное зацепление с рейкой имеющей угол профиля – а при выполнении главного условие зацепления рассмотрим рис. 3.
Докажем что в системе координат рейки при вращении колеса с угловой скоростью n на угол f, и при перемещении рейки с линейной скоростью Vр, точка касания (т. А) зуба колеса с зубом рейки описывающая эвольвенту в плоскости колеса, будет перемещаться в плоскости рейки по прямой линии наклоненной под углом «а» к оси «y» рейки, т. е. будет в любой момент времени касаться профиля зуба рейки.
Рассмотрим прямую зацепления (l) как выдвигающуюся без скольжения основной окружностью, т. е. при повороте колеса на угол f прямая lувеличивается в длине на величину dl=df*ro (здесь d- это дельта), при этом прямая остается неподвижна и только увеличивается ее длина, а окружность –do поворачивается, в плоскости окружности т. А (принадлежащая прямой l) описывает эвольвенту.
При проецировании dl=df*ro на неподвижные оси x, yполучим
dx=dl*cos a=df*ro*cos a
dy=dl*sin a= df*ro*sin a
В системе координат связанной с рейкой (движущейся относит. неподвижной со скоростью Vр):
dx=df*ro*cos a-df*r
dy=dl*sin a= df*ro*sin a
выразим: dy/dx= df*ro*sin a / (df*ro*cos a-df*r)= ro*sin a / (ro*cos a-r)=
=r*cos a*sin a/(r*cos a*cos a-r)=cos a*sin a/(-sin a*sin a)=-ctg a
dy=-dx*ctg a => dx=-dy*tg a – это уравнение прямой линии в плоскости рейки наклоненной под углом «a» к оси «y».
Можно сделать вывод: при зацеплении колеса с рейкой (или другим колесом) все точки касания зубов будут находится на линии зацепления. При этом точка касания как бы выталкивается по линии зацепления основной окружностью.
Точка касания зубов, лежащая на делительном диаметре называется полюсом зацепления.
Если при выполнении главного условия зацепления сдвинуть рейку дальше от центра колеса или ближе к центу колеса (см. рис. 3) то получится, что на делительном диаметре отпечатается не делительная прямая а другая прямая рейки, на которой длина впадины зуба рейки будет не равна длине зуба рейки, соответствующие длины будут у зубьев сопряженного колеса на делительном диаметре (длина впадины зуба рейки = длине зуба колеса, длина зуба рейки = длине впадины зуба колеса). Такие колеса называют коррегированными. Смещение рейки от номинального положения выражают через коэффициент смещения:
Смещение=x*m, где x – коэффициент смещения
Х>0 при смещении от центра колеса, x<0 при смещении к центру колеса.
Окружность колеса по которой будет в случае коррегированного колеса обкатываться (со скольжением) делительная прямая рейки называют производственной начальной окружностью. Шаг, длина впадины и зуба при этом на производственной начальной окружности колеса будут не равны соответствующим длинам на делительной прямой а как бы растянуты (при положительном смещении) или сжаты (при отрицательном смещении), но в тоже время на производственной начальной окружности колеса длина дуги зуба колеса будет равна длине дуги впадины.
Диаметр производственной начальной окружности:
Dн=d+2*x*m
Коррегированные колеса применяют для улучшений механических свойств зуба (при положительном смещении происходит увеличение ширины ножки зуба). Коррегированные колеса применяют также в случае необходимости при заданном передаточном отношении (т. е. при заданном соотношении чисел зубьев колес = z1/z2, или соответствующем соотношении делительных диаметров d1/d2) разместить колеса при фиксированном межосевом расстоянии, такая задача возникает в коробках передач, когда с одного вала на другой вращение необходимо передавать не одной парой шестерен а несколькими парами с разными передаточными отношениями. При этом смещение колес подбирают так чтобы межосевое расстояние было равно полусумме диаметров производственных начальных окружностей соответствующих зубчатых колес. В этом случае такое соотношение можно расшифровать следующим образом: первое колесо зацепляется с рейкой, которая в свою очередь зацепляется со вторым колесом, при этом делительная прямая рейки проходит через точку касания производственных начальных окружностей, такое условие необходимо для предотвращения заклинивания колес.
2. Косозубые колеса
Косозубым колесом можно назвать колесо нарезанное косозубой рейкой.
При этом углом наклона зуба колеса (b) будет называться угол наклона зуба рейки см. рис. 4.
Косозубую рейку можно рассмотреть как совокупность реек толщина которых стремится к 0 и сдвинутых относительно друг друга на угол (b). При этом зацепляясь с зубчатым колесом мы получаем, что рейки входя в зацепление не все сразу а постепенно, при одновременном повороте колеса и соответствующем линейном перемещении рейки. При выполнении главного условия зацепления мы получим что зуб на колесе по своей толщине получается развернутым по винтовой линии, угол наклона которой зависит от наклона зуба рейки и делительного диаметра колеса. Если рассеч косозубое колесо перпендикулярно его оси (торцовое сечение), то в различных сечениях по толщине зуба мы получим развернутый относительно другого сечения зуб на определенный угол (угол винтовой линии). Определим зависимость угла разворота сечений зуба колеса (Ф) и угла наклона зуба рейки см. рис. 5. На рис. 5 рассмотрена положение колеса в момент касания делительной окружности колеса точки, принадлежащей делительной прямой рейки, в верхнем сечении. В нижнем сечении, точка принадлежащая делительной прямой, коснется делительной окружности колеса при повороте колеса на угол ф и перемещении рейки на соответствующее главному условию зацепления расстояние – l, то есть когда колесо при повороте на угол ф «прокатит» рейку на расстояние l.
l=B *tg (b)
l=ф*R= ф*mtz/2 (mt- торцовый модуль колеса, модуль в торцовом сечении)
ф*mtz/2=B *tg (b)
ф=2* B *tg (b)/(mt*z)
Для взаимозаменяемости зуборезного инструмента принято считать, что косозубое колесо имеет в нормальном сечении к профилю зуба – обычный модуль – m (как прямозубое колесо), и соответственно в торцовом сечении торцовый модуль mt=m/cos (b).Делительный диаметр косозубого колеса:
d= mtz=mz/cos (b). Эвольвента косозубого колеса получается в торцовом сечении.
ф=2* B *tg (b)/(mt*z)=2*B*sin (b)/m*z
ф=2*B*sin (b)/m*z
3. Зубчатые параметры в чертежах.
Параметры зубчатого колеса в чертежах заносят в таблицу (см. рис. 6):
Расшифруем наиболее важные конструктивные параметры:
Модуль нормальный – модуль колеса в нормальном сечении
Число зубьев – число зубьев колеса
Направлении линии зуба – наклон зуба, бывает левый и правый, если зуб рассмотреть как винтовую линию то левый наклон – винт с левой резьбой (закручивается против часовой стрелки), а правый наклон зуба – винт с правой резьбой (закручивается по часовой стрелке).
Нормальный исходный контур - по ГОСТ 13755-81 устанавливает соотношения параметров зубчатой рейки которой соответствует зуб колеса, таких как шаг (p), высота головки зуба рейки (h=m), высота ножки зуба рейки(h=m), угол профиля зуба рейки (угол зацепления=20o), радиальный зазор (c=0,25m), радиус закругления у корня зуба (Ri), глубина захода (hд=2m) см. рис. 7.
Коэффициент смещения – коэффициент смещения рейки при нарезке колеса. Вычисляется при расчете межосевого расстояния.
Наименьшее дополнительное смещение исходного контура – смещение рейки предназначенное для обеспечения бокового зазора между профилями зубьев колес. Учитывается при расчете допуска длины общей нормали, и не участвует в расчете межосевого расстояния.
Высота головки зуба – высота от вершины зуба колеса до делительного диаметра
Высота зуба - высота от вершины зуба колеса до впадины зуба.