Введение
В математике мы часто сталкиваемся с десятичными дробями, которые не заканчиваются, а имеют бесконечно повторяющуюся последовательность цифр. Например, 0,33333... или 0,142857142857.... Такие дроби называются периодическими десятичными дробями, а повторяющаяся группа цифр — периодом.
Умение переводить такие «зацикленные» дроби в обыкновенные (вида a/b) — это не только красивый математический трюк, но и важный навык для упрощения вычислений и точных ответов.
Основные понятия
Период — это повторяющаяся группа цифр. Для записи его заключают в скобки.
0,33333... = 0,(3)
0,142857142857... = 0,(142857)
Чистая периодическая дробь — период начинается сразу после запятой.
Примеры: 0,(5), 1,(23), 0,(123)
Смешанная периодическая дробь — после запятой есть одна или несколько цифр, не входящих в период (это предпериод), а уже потом начинается период.
Примеры: 0,1(6), 2,3(45), 0,08(3)
Универсальный алгоритм перевода (метод уравнения)
Это самый надежный и понятный способ. Давайте разберем его по шагам для каждого типа дроби.
Случай 1: Чистая периодическая дробь
Формула-помощник: Чистую периодическую дробь можно представить как дробь, в числителе которой стоит период, а в знаменателе — число, состоящее из стольких цифр 9, сколько цифр в периоде.
Пример 1: Переведем 0,(3).
1. Обозначим исходную дробь за x.
x = 0,(3)
2. Умножим x на 10 в такой степени, сколько цифр в периоде. Период (3) состоит из одной цифры, поэтому умножаем на 10.
10x = 3,(3)
3. Теперь вычтем из второго уравнения первое. Это ключевой шаг, который позволяет избавиться от бесконечной части.
10x - x = 3,(3) - 0,(3)
9x = 3
4. Решаем получившееся уравнение.
x = 3 / 9
5. Сокращаем дробь.
x = 1 / 3
Готово! 0,(3) = 1/3
Пример 2: Переведем 1,(23).
1. x = 1,(23)
2. Период (23) состоит из двух цифр, поэтому умножаем на 100.
100x = 123,(23)
3. Вычитаем:
100x - x = 123,(23) - 1,(23)
99x = 122
4. Решаем:
x = 122 / 99
Готово! 1,(23) = 122/99
Случай 2: Смешанная периодическая дробь
Здесь немного сложнее, но принцип тот же.
Пример 3: Переведем 0,1(6).
1. Обозначим исходную дробь за x.
x = 0,1(6)
2. Умножим x на 10 в такой степени, сколько цифр в предпериоде. Предпериод 1 — это одна цифра. Умножаем на 10.
10x = 1,(6) (Теперь у нас получилась чистая периодическая дробь)
3. Умножим полученный результат еще раз на 10 в такой степени, сколько цифр в периоде. Период (6) — одна цифра. Умножаем на 10.
100x = 16,(6)
Важно: теперь у нас есть два уравнения:
10x = 1,(6)
100x = 16,(6)
4. Вычтем из второго уравнения первое.
100x - 10x = 16,(6) - 1,(6)
90x = 15
5. Решаем получившееся уравнение.
x = 15 / 90
6. Сокращаем дробь.
x = 1 / 6
Готово! 0,1(6) = 1/6
Пример 4: Переведем 0,08(3).
- x = 0,08(3)
- Предпериод 08 — это две цифры. Умножаем на 100.
100x = 8,(3) - Период (3) — одна цифра. Умножаем результат на 10.
1000x = 83,(3) - Вычитаем:
1000x - 100x = 83,(3) - 8,(3)
900x = 75 - Решаем:
x = 75 / 900 - Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 75):
x = 1 / 12
Готово! 0,08(3) = 1/12
Краткая памятка и проверка
Чтобы не запутаться, запомните схему:
- x = исходная дробь.
- Умножить так, чтобы сдвинуть запятую после предпериода.
- Умножить еще раз, чтобы сдвинуть запятую на длину периода.
- Вычесть уравнения, чтобы убрать бесконечную часть.
- Решить простое уравнение и сократить дробь.
Проверка: Всегда можно выполнить обратное действие — разделить числитель на знаменатель в полученной обыкновенной дроби с помощью столбика, и вы снова получите свою исходную периодическую дробь.
Особый случай: Период 9
Существует уникальный и на первый взгляд парадоксальный случай — периодические дроби с периодом (9). Например, 0,(9) или 2,45(9). Согласно нашему алгоритму, они успешно переводятся в обыкновенные дроби, но результат оказывается не таким, как можно было бы ожидать.
Давайте переведем 0,(9) по общим правилам:
- 1. Обозначим дробь за x.
x = 0,(9) - 2. Умножим x на 10 (так как период состоит из одной цифры).
10x = 9,(9) - Вычтем из второго уравнения первое.
10x - x = 9,(9) - 0,(9)
9x = 9 - Решаем уравнение.
x = 9 / 9 = 1
Что это значит? Получается, что 0,(9) = 1.
Это не ошибка в вычислениях, а строгий математический факт.
Что делать с другими дробями с периодом 9?
Правило распространяется на любые подобные дроби. Если в результате вычислений у вас получилась дробь с периодом 9, её всегда можно и нужно заменить на конечную десятичную дробь.
Примеры:
- 0,2(9) = 0,3
- 5,78(9) = 5,79
- 3,(9) = 4
Практический вывод: Период (9) является артефактом десятичной системы счисления и указывает на то, что данное число можно (и нужно) записать в более простой, конечной форме.
Заключение
Перевод зацикленных десятичных дробей в обыкновенные — это элегантный и мощный инструмент. Освоив этот метод, включая понимание особенностей периода (9), вы сможете легко оперировать бесконечными дробями, представляя их в компактном и точном виде, что особенно ценно в алгебре, математическом анализе и других точных науках. Практикуйтесь на разных примерах, и скоро это будет получаться у вас автоматически!
Дополнение к статье: Строгое обоснование метода