Эпиграф: " уж , если вы нас свергли , так станьте лучше нас ,
нет вечного на свете , не то ему коллапс " - С. Никифорова .
В этой статье я продолжу тему обозначенную в 2-х предыдущих статьях (читателю желательно с ними ознакомиться) .
Итак есть два уравнения для золотого сечения ( условно назовём их "+" и "-" уравнениями золотого сечения)
Х-1/Х=1 это положительное уравнение
У-1/У=-1 это отрицательное уравнение
Корни первого это φ,-ψ=-1/φ
Корни второго это ψ,-φ=-1/ψ
где φ=1/2+✓5/2 =1.61803.....число иррациональное
Легко проверить что φ и ψ удовлетворяют соотношениям
ψ=φ-1
φ=ψ+1
φ*φ-ψ*ψ=φ+ψ
φ-ψ=1=φ*ψ
Понятно , что все эти равенства вытекают друг из друга .
Итак начнём : первое изгнание - заменим 1 (число целое и рациональное на разность двух иррациональных чисел 1=φ-ψ
Изгнание второе - заменим три матрицы Паули σ1,σ2,σ3
0 1
1 0
0 -i
+i 0
1 0
0-1
на 3 матрицы R1,R2,R3
0 φ
φ 0
0 -iφ
iφ 0
φ 0
0 -φ
И ещё 3 матрицы Т1,Т2,Т3
0 ψ
ψ 0
0 -iψ
iψ 0
ψ 0
0 -ψ
Изгнание третье - заменим матрицы Дирака на их аналоги , построенные из матриц R1,R2,R3,T1,T2,T3 по стандартной схеме
0 +R(n)
-T(n) 0
где n=1,2,3 и назовём эти матрицы S1,S2,S3
Построенные таким образом матрицы будут другим предоставлением матриц ή(n) из предыдущей статьи ("Этюды о Симметрии") , но с одним отличием - входящие в них матрицы R(n),T(n) уже будут образовывать группы (по типу матриц Паули , в отличии от матриц ρ(n)) . Групповой закон будет
[R(a),R(b)]=2iφR(c) , [Τ(a),T(b)]=2iψT(c) , {R(a),R(b)}={T(a),T(b)}=0
Замечание: здесь определение скобок Пуассона отличается от классического на множитель 1/2 , по классике [V,W]=(VW-WV)/2 , {VW}=(VW+WV)/2 , здесь взято без деления на 2 ( это сделано из соображений симметрии , см. далее когда будет вводится метрика в пространстве Минковского ) .
где квадратные скобки это обозначение коммутатора матриц , а фигурные это обозначение антикоммутатора матриц . Равенство нулю антикоммутатора означает , что все матрицы R(n) ортогональны друг другу и все матрицы T(n) ортогональны друг другу и следовательно такие тройки R , и Т матриц образуют базисы в пространстве спиноров ( комплексных векторов в пространстве размерности 2 ) . Между вещественным Евклидовом пространством размерности 3 и этим комплексным пространством существует взаимно однозначное соответствие (изоморфизм) .
Замечание : матрицы R(n) и Т(n) имеют одинаковые собственные вектора , но различные собственные числа
(+φ,-φ) для R(n) ,
(+ψ,-ψ) для T(n) .
Изгнание четвертое - косо-симметричные метрические тензоры симплектического пространства спиноров вида
0-1
1 0
для нижних (ковариантных индексов) и
0 1
-1 0
для верхних (конравариантных индексов) заменятся на
0 -φ
ψ 0
для нижних индексов и
0 φ
-ψ 0
для верхних индексов , в 4-х мерному случае это соответственно будут
0 0 -φ 0
0 0 0 -φ
ψ 0 0 0
0 ψ 0 0
для нижних индексов
0 0 φ 0
0 0 0 φ
-Ψ 0 0 0
0-ψ 0 0
для верхних индексов
Если обозначить G как ковариантный метрический тензор , а Н как конравариантный метрический тензор , то справедливы соотношения
S(n)*H*(-S(n))=H
(-S(n))*G*S(n)=G
Замечание (-S(n)) будет обратной матрицей по отношению к S(n) , они различаются только знаком .
Так как мы изгнали все 1 , то матрицу S(0) запишем так
(φ-ψ) 0 0 0
0 (φ-ψ) 0 0
0 0 (ψ-φ) 0
0 0 0 (Ψ-φ)
То есть на диагонали стоят ((φ-ψ),(φ-ψ),(ψ-φ),(ψ-φ)) , все остальные элементы равны нулю . Далее стандартно i*S(0)*S(1)*S(2)*S(3)=S(5)
где S(5) будет иметь вид
0 0 φ 0
0 0 0 φ
ψ 0 0 0
0 ψ 0 0
Квадраты S(0),S(5) равны плюс единичной матрице , а квадраты всех остальных S(n) n=1,2,3 равны минус единичной матрице .
{S(a),S(b)}=2N где а,b=0,1,2,3 , а матрица N c диагональю (+Е,-Е,-Е-Е) , все остальные её элементы равны нулю , это метрика в пространстве Минковского (Е - единичная матрица) , НО мы же изгнали все 1 из этой модели . Поэтому , вспомнив , что 1=φψ , представим E как квадрат матриц I , J, K, L вида
0 φ
ψ 0
0 ψ
φ 0
0 -φ
-Ψ 0
0 -ψ
-Ψ 0
Понятно , что I=-K , J=-L , но это сделано для того чтобы вводить -Е тоже 4-мя способами
0 φ
-Ψ 0
0 -φ
ψ 0
0 ψ
-φ 0
0 -ψ
φ 0
Таким образом можно построить метрический тензор N в пространстве Минковского размерности 8 , где на диагонали будут стоят блоки из матриц , построенных через φ и ψ вышеуказанным способом .
Всего таких комбинаций будет 16 , причем 8 будут иметь метрику (+,-,-,-) , другие 8 метрику (-,+,+,+) .
Таким образом строится вся релятивистская квантовая физика В 8-ми мерном пространства-времени .
В отличие от матриц Паули (их всего 3) , тут 3 матрицы R и 3 матрицы T .
И размерность пространства Минковского удвоилась (это все за счёт того что количество собственных чисел удвоилось!!!)
Замечание : пространственные измерения могут переходить во временные и наоборот (гипотеза К. Торна) , например , в черной дыре , в этой модели это просто замена φ на ψ (смотри на уравнения "+" и "-" золотого сечения и возможности построения блочных матриц метрики N с квадратами равными +Е и -Е) .
Формально можно назвать метрики N с сигнатурой (+,-,-,-) ковариантными и , а метрики N с сигнатурой (-,+,+,+) конравариантными . Вот такая получается интересная модель Мира (может быть нашего) .
Замечание : если положить φ=ψ=1 , то в этом предельном случае матрицы R, T переходят в матрицы Паули , а матрицы S переходят в матрицы Дирака , т.е. модель с φ,ψ является более общим случаем .
С уважением , Кот Шредингера ,28.10.2025.