Родился в СССР 21 октября 1975 года в городе Орск Оренбургской области. Рано стал самостоятельным, помогал семье в содержании хозяйства, мастерил. Окончил девять классов в средней школе станицы Динская в Краснодарском крае и поступил в местное СПТУ №63 для обучения по специальности «водитель-слесарь». В 1993 году Андрей окончил СПТУ и был призван на срочную военную службу. Местом службы стал Приаргунский пограничный отряд Забайкальского пограничного округа. В 1994 году в составе мотоманевренной группы Приаргунского погранотряда принял участие в боевых действиях на таджикско-афганской границе. В 1995 году сержант пограничных войск Туркин был уволен в запас, вернулся в Краснодарский край, устроился на работу и поступил в Краснодарский институт маркетинга и информационно-технических систем. В 1997 году поступил на службу в Управление «В» ФСБ России. Принял участие в боевых действиях на территории Чеченской республики. В 2001 году получил высшее образование. В октябре 2002 года участвовал в освобождении заложников в театральном центре на Дубровке в Москве. За время службы награжден медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» 2-й степени с мечами, медалью Суворова, медалью «За спасение погибавших», ведомственной медалью «За участие в контртеррористической операции», другими ведомственными знаками и наградами.
В первых числах сентября 2004 года подразделение лейтенанта Туркина прибыло в Беслан, где 1 сентября террористы захватили заложников в средней школе №1. 3 сентября начался внезапный штурм здания школы, вызванный произошедшим взрывом и пожаром внутри нее. Спасая заложников, среди которых были в основном дети, Андрей Туркин с боевыми товарищами ворвался в здание школы под огнем боевиков. Получил ранение, но продолжил участие в штурме. Уничтожил одного из террористов, спасая заложников. Другой террорист бросил гранату в группу выбежавших из школы детей, и лейтенант Туркин накрыл ее своим телом. Погиб, спасая десятки молодых жизней. Указом Президента Российской Федерации от 6 сентября 2004 года лейтенанту Андрею Алексеевичу Туркину за мужество и героизм, проявленные при выполнении специального задания, было присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно).
Имя героя присвоено улице и средней школе №1 в станице Динская, кадетскому классу Орской средней школы №53, детско-юношескому центру патриотического воспитания в городе Новая Ляля Свердловской области. В Орске на Аллее Славы в Сквере Героев установлен бюст А.А. Туркина. Мемориальные доски установлены в Краснодаре, станице Динской и в городе Новая Ляля. Фотография лейтенанта Туркина установлена в пантеоне на Аллее Героев-пограничников в Чите. Его имя выбито на памятнике погибшим бойцам спецназа в Беслане. В станице Динская проводятся спортивные турниры по боксу памяти А.А. Туркина. В 2014 году ему посвящена почтовая марка из серии «Герои Российской Федерации».