Биллиарды на треугольных столах

Марина Константиновна Баринова, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры фундаментальной математики Нижегородского филиала Высшей школы экономики

Исследование биллиардов — это интересная область математики, которая включает в себя геометрию и динамику. В математическом биллиарде есть несколько отличий от того бильярда, к которому все привыкли. Во-первых, шар там обычно только один. Во-вторых, математики обычно не интересуются такими движениями, в результате которых шар попадает в лузу.

Как и в любой модели, для начала нужно «создать» некоторые идеальные условия. Будем предполагать, что:

1. Биллиардный шар – это движущаяся материальная точка, обладающая массой, размерами которой можно пренебречь;
2. Движение по биллиардному столу свободно от трения;
3. Граница биллиардного стола абсолютно упругая.

Шар движется по столу вдоль прямой и отскакивает от стенок так, что угол падения равен углу отражения, как на рисунке 1.

Рисунок 1 – Движение шара до и после соударения со стенкой

Биллиарды можно рассматривать на плоских столах любой формы (рисунок 2).

Рисунок 2 – Формы биллиардных столов

Как можно заметить по картинкам, у стола могут быть углы. Будем считать, что если шар попал в угол, то он прекращает свое движение. То, по какой траектории будет двигаться шар, зависит от начальных условий: от начальной точки (можно представлять себе, что шар поставили на стол и ударили по нему кием) и от направления, в котором его подтолкнули. Если шар вернулся в начальную точку, причем направление движения у него такое же, как в начальный момент времени, то он покатится по своему следу. Такие траектории называются периодическими.

В данной статье мы рассмотрим замечательный случай: биллиард на треугольном столе. Он интересен тем, что в нем сочетаются задачи, красиво решаемые школьными методами, с проблемами, открытыми по сей день.

Начнем с простого и наглядного случая. Пусть ABC – прямоугольный треугольник с углами 30, 60 и 90 градусов.

Для того, чтобы лучше было видно траекторию в треугольник, обычно применяют трюк с отражением, называемый разверткой. Давайте прямолинейный кусок траектории после первого соударения и до следующего будем изображать не в том же треугольнике, а в его копии, отраженной от стороны (рисунок 3).

Рисунок 3 - Развертка

Тогда, благодаря закону отражения, траектория будет изображаться уже не ломаной, а прямой. Чтобы получить траекторию в виде ломаной в исходном треугольнике, нужно «сложить гармошкой» отраженные треугольники (рисунок 4).

Рисунок 4 – Получение траектории в исходном треугольнике из развертки

Чтобы траектория получилась периодической, достаточно выбрать на развертке копию начального положения треугольника, одинаковые точки в исходном треугольнике и финальном и провести отрезок, соединяющий эти точки. На рисунке 5 можно увидеть несколько таких примеров.

Рисунок 5 – Примеры периодических траекторий на развертке

Таким образом, у нашего биллиарда в прямоугольном треугольнике огромное количество периодических траекторий. А что будет, если рассмотреть произвольный треугольник? Оказывается, похожим образом, из развертки, периодические траектории можно получать у любого треугольника, все углы которого имеют вид mn, где m и n – натуральные числа.

Если же углы у треугольника не имеют такой вид, то вопрос существования периодической траектории до сих пор остается открытым. Он решен лишь в некоторых случаях:

1. Если треугольник остроугольный, то у него существует траектория периода три. Такая траектория носит имя Фаньяно. На данный момент не известно, правда ли, что в каждом остроугольном треугольнике есть и другие периодические траектории.
2. Для тупоугольного треугольника Р. Шварц доказал, что если тупой угол меньше 100 градусов, то в нем тоже будет периодическая траектория.
3. Также Хупер и Шварц показали, что если острые углы в тупоугольном треугольнике достаточно близки, то в нем есть периодическая траектория. Например, если эти углы равны, то есть треугольник равнобедренный, то существование в нем периодической траектории хорошо известно.

Напоследок хотелось бы предложить читателю несколько задач.

1. Найдите периодическую траекторию в тупоугольном равнобедренном треугольнике.
2. Найдите несколько различных периодических траекторий в равностороннем треугольнике.
3. Докажите, что если траектория в равностороннем треугольнике не периодическая и не попадает в угол, то она подходит сколь угодно близко к каждой точке в этом треугольнике.

При грантовой поддержке Минобрнауки России в рамках Десятилетия науки и технологий.