Наибольший общий делитель (НОД): зачем он школьнику и где встречается на экзамене

1) Чему равен НОД простых чисел
Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — это наибольшее число, на которое оба делятся без остатка. Простые числа делятся только на 1 и на себя, следовательно, НОД любых двух простых чисел равен 1. Это базовое свойство задаёт «рамку» для всех задач на делимость: если перед нами два простых числа, общего делителя больше единицы у них быть не может.

2) Почему тему изучают в 5–7 классах
Тему «Наибольший общий делитель» вводят рано — в 5–7 классах, потому что она прямо работает в прикладных сюжетах на делимость. Типичный пример: требуется разбить детей на команды из ровесников, не смешивая возраст. НОД в такой постановке подсказывает наибольшее возможное число участников в каждой группе, чтобы распределение получилось «без остатка».
С НОДом в этих же классах изучают и «пару по смыслу» — наименьшее общее кратное (НОК). Это основа дальнейших вычислений: чтобы складывать и вычитать дроби, нужен наименьший общий знаменатель, то есть НОК знаменателей. С дробей начинается большая часть школьной математики: от обычных — к десятичным, и далее ко всем типам вычислительных задач. Поэтому раннее знакомство с НОД/НОК — вопрос не терминологии, а устойчивых навыков счёта.

3) Где НОД нужен в ОГЭ и ЕГЭ по математике
Умение находить НОД требуется во всех задачах, где надо определить общие делители или разделить предметы поровну. Классические формулировки: «сколько одинаковых наборов можно составить из груш и апельсинов, чтобы ничего не осталось», «каким максимальным количеством частей можно поделить ресурсы». Здесь НОД отвечает за максимальный размер «безостаточного» деления.
Рядом неизбежно появляется тема общих кратных. Для двух простых чисел их общее кратное — это их произведение, потому что у простых нет иных множителей, кроме единицы и самих себя (пример: 3 и 5, 3 и 7). Эта связка важна и в экзаменационных вычислениях с дробями: НОК как общий знаменатель необходим практически в любом задании, где встречаются сложение/вычитание дробей. По сути, навыки НОД/НОК пересекают весь контур ОГЭ и ЕГЭ, потому что вычислять приходится везде, а дроби могут встретиться в любом номере.

Вывод
НОД — не «теория ради теории», а рабочий инструмент: он помогает разбивать на равные группы, делить «без остатка» и грамотно сводить дроби. Раннее освоение темы в 5–7 классах — залог того, что к заданиям ОГЭ и ЕГЭ, где требуется общий делитель или общий знаменатель, школьник подойдёт уже с готовыми приёмами и не потеряет баллы на базовой арифметике.