ЗАЧИН. Информационный повод для поста — пост на «Инженерных знаниях» о температуре; 100 коментов с самым характерным: «Ничего не понял, но очень интересно". То что интересно – хорошо, а почему непонятно? Мне кажется, беда в том, что наши представления о мире (и температуре тоже) из детства. Я не могу припомнить была ли в школе статистическая физика. Вроде бы понятия теплоёмкости, цикл Карно, молекулярно-кинетическая теория были, но как то осколками. Да и в институте предмет был, но больше про технику расчётов, у меня связной картины не осталось. А ведь в физике это проработанная и важная глава. В ней удалось показать как работать с невообразимым числом частиц; естественно возникла стрела времени… Но почему-то курсы статов обычно начинаются (бывает заканчиваются) в XIX веке, в законах термодинамики. А в результате в голове остаётся - «Читатель, что б не попасть впросак, Повторяй, чтоб не снилось иное: Гей-Люсак был один чувак. А Бойль-Мариотов двое» (автора не помню, Энный?).
Когда я рассказывал этот кусок школьникам, то быстро проговаривал объединённый афоризм: «Термодинамика это палка о трёх началах: 1) Тепло можно превратить в работу; 2) Лучше делать это при Т=0 ; 3) Нуль недостижим.» и быстро уходил в статы, чтобы потом вернуться к Карно. Но со школьниками у меня было ½ года, здесь 1-2 стр. Попробую с минимумом математики пастельным пунктиром нарисовать подход физики к понятию температура.
Глава Первая. Присказка или Система находится в наиболее вероятном из доступных состояний.
Когда-то Больцман предпринял безуспешную попытку на основании ньютоновской механики получить законы термодинамики. Пуанкаре показал невозможность аналитически решить задачу 3х тел, казалось бы безумие мечтать решить задачу поведения 10^23 тел, но именно то, что тел непредставимо много, создаёт возможность появления новых, неработающих для «одиночек» законов поведения коллектива в целом.
Итак, следуя за Киттелем кинем взгляд на простейшую систему – цепочка невзаимодействующих «спинов», расположенных на равном расстоянии вдоль горизонтальной нити. Спин ставлю в «» для сокращения; здесь спин это магнитики с магнитным моментом μ, направленным вверх или вниз. Пока магнитного поля нет, каждому спину всё равно куда смотреть. Все возможные конфигурации направлений спинов можно увидеть раскрыв скобки: (↑1+ ↓1)*(↑2+ ↓2)*(↑3+ ↓3)*…..*(↑N+ ↓N) . Циферки — номера узлов, но нас они не интересуют, энергия цепочки может зависеть только от разности числа ↓ и ↑, (обозначим 2m), а число возможных конфигураций даст множитель перед степенями бинома Ньютона (↑+ ↓)^N . Т.е.
(↑+ ↓)^N = Σ {N!/[(N/2+m)!(N/2-m)!]}[↑^(N/2+m)] [↓^(N/2-m)] , где N -число спинов, 2m – спиновый избыток (вверх (N/2+m) спинов, вниз (N/2-m) спинов )
Обратите внимание, любой вариант спинового избытка (g(N,m)) реализуется множеством способов (порядком расположения спинов), в тервере это число способов, которыми можно разбить N спинов на ( N/2+m) направленных ↑ и ( N/2-m) - ↓. Приятной особенностью g(N,m) является резкий максимум при больших N. Вывод пропускаю, ответ:
g(N, m) ≈ [N! / (N/2)!(N/2)!] exp(-2m^2/N). Сразу видно, что максимальное число конфигураций (расположений спинов) соответствует m=0, а ширина распределения - √(N/2) , т. е. При N~10^22 ( 0,3 грамма воды) ширина 10^(-11) ! Разумно надеяться, что при Н=0 мы обнаружим систему с m=0 в 10^11 раз чаще, чем в любом другом. Это означает, что при измеряя m каждую миллисекунду, заметный шанс увидеть систему с m=2 появится через 10 лет (ещё попробуйте поймать μ~10^(-34)джсек)
Теперь включим магнитное поле. Энергия спина -μН ; энергия системы U(N,m)= -2m μH .
Глава Вторая. Сказка.
Пусть есть 2 изолированные банки со спинами на нитках. Обе в равновесном состоянии. Энергии банок U1&U2; кол-во частиц N1&N2 . Приведём банки в тепловой контакт. Энергии могут перераспределится, но не обязательно от «богатой» к «бедной». Горячая, но маленькая банка может обладать меньшим запасом энергии по сравнению с холодной, но очень большой. Однако мы уже почти поверили – равновесная конфигурация – наиболее вероятная, реализуемая наибольшим числом способов, при допустимых расходах (значениях энергии).
У нас N=N1+N2 ; μ1= μ2 = μ ; m=m1+m2 ; U (m) = U1 (m1) + U2 (m2). Тогда количество комбинаций направлений спинов, обеспечивающих нужную энергию системы есть сумма произведение кол-ва комбинаций с соответствующими энергиями подсистем:
g (N, U) = Σ g1 (N1 , U1) g2 (N2, U— U1) или (удобнее суммировать не по U1, а по m1):
g (N, m) = Σ g1 (N1 , m1) g2 (N2, m— m1)
и мы можем надеяться, что максимум опять окажется острым и существенным окажется одно значение m1. Максимум найти не фокус (прологарифмируем,возьмём производную), получим
m1/N1=m2/N2=m/N,а (g1g2)max = g1(0)g2(0)exp(-2m^2/N), т. е. максимум поле ничуть не «затупило».
Если же чуть-чуть поиграть с обозначениями, получим, что в наиболее вероятной конфигурации объединённой системы (банок) в равновесии ∂lng1/∂U1 = ∂lng2/∂U2 ( N1&N2 постоянны).
Итого: две системы находятся в тепловом равновесии друг с другом, когда объединенная система находится в наиболее вероятной конфигурации, т. е. в конфигурации, для которой число допустимых состояний максимально.
Теперь можно определить энтропию, как логарифм числа допустимых состояний системы-- S=ln(g) . Можно определить и температуру, как то, что выравнивается при тепловом контакте: 1/Т=∂S/∂U
Автоматически получаем Второе Начало, ибо «Наиболее вероятным состоянием объединенной системы является такое, для которого g1g2 максимально. Таким образом, если после установления контакта объединенная система переходит в наиболее вероятное состояние, то g1 (конечн.) g2 (конечн.) ≥ g1 (нач.) g2 (нач.).
Легко получаем направление теплового потока. Посмотрим как меняется энтропия при тепловом контакте двух систем. Одна теряет dU, вторая приобретает. Тогда
dS=(dS1/dU1)(-dU)+(dS2/dU2)(dU)=(-1/T1 +1/T2)dU (производные частные, N1&N2 постоянны). Правая часть положительна при Т1>T2, т. е. тепло течет от горячего к холодному (dS>0) .
Примечание
Я вовсе не против молеклярно-кинетической теории и совершенно согласен с утверждением — средняя кинетическая энергия молекул газа это и есть темрература газа. Но как быть, если я работаю не с водяным паром, а со льдом при Т=1К? Какая там кинетическая энергия молекул воды? Можно, но неудобно. Да и законы термодинамики сшить затруднительно. Исходя же из простого (эргодическую гипотезу я жульнически спрятал) вероятностного подхода можно подобраться к самому общему определению температуры, построить законы термодинамики… Заодно и картинка мира прояснится.
Я предельно сокращал и огрублял схему рассуждений. Но любопытно, строгие рассуждения проще строятся в рамках квантовой механики.
Бонус. Отрицательная абсолютная температура.
Всех учили – абсолютный нуль недостижим, а отрицательных (по Кельвину) температур не бывает. Что ж, рассмотрим двух уровневую систему, N частиц могут иметь энергию ε1 или ε2. При температуре Т отношение числа частиц N(ε1)/N(ε2)= exp(-ε1/T)/exp(-ε2/T) = exp (-Δε/T) . Это фактор Больцмана, справедлив в любой (классической, квантовой) статистике, выводится без дополнительных предположений, да и поверить легко, что «вверху» частиц обычно меньше, чем «внизу». Обычно, да, меньше, и, когда они все соберутся внизу, то это и будет Т=0. С ростом температуры верхний уровень потихоньку заполняется. Но лазер-то светит! А для этого надо собрать частицы на верхнем уровне, немножко подержать, а потом разрешить обрушится всем разом вниз. Значит какое-то время на верхнем уровне частиц больше, чем на нижнем. Но такая конфигурация формально соответствует T< 0 ! Отрицательные температуры соответствуют более высоким энергиям нежели положительные. При тепловом контакте энергия системы с положительной температурой растёт, отрицательной уменьшается. Отрицательная температура горячее положительной!
---------------------------------------------------------------------------------------------
Киттель Статистическая термодинамика https://www.klex.ru/2hpi
Отрицательная абсолютная температура https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B0%D0%B1%D1%81%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0 https://elementy.ru/novosti_nauki/432156/Nastoyashchaya_temperatura_ne_mozhet_byt_otritsatelnoy